Lista 01 - Aplicações Vetoriais, Campos e Rotacional

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Universidade do Estado do Amazonas
Escola Superior de Tecnologia
Ciclo Básico - Matemática
Disciplina: Cálculo Vetorial
Professor: José Lúıs Tavares dos Santos
Turma: ECA04 T01
Data: 28/08/2025
Lista 01 - Aplicações Vetoriais, Campos e Rotacional
1 Exerćıcios
1.1 Aplicações Vetoriais
1. Considere a transformação (x, y) = φ(θ, ρ) dada por x = ρ cos θ e y = ρsen θ. Desenhe
o conjunto φ(B) onde B é o retângulo 1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π.
2. Considere a transformação φ de R2 em R2 dada por x = u + v, y = u − v. Desenhe
φ(B)
(a) sendo B a reta v = 0.
(b) sendo B o quadrado 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.
3. Seja f a transformação de R2 em R3 dada por (x, y, z) = (u + v, u, v). Mostre que f
transforma o plano uv no plano x− y − z = 0.
4. Seja f(u, v) = (u, v, 1− u− v), com u ≥ 0, v ≥ 0 e u+ v ≤ 1. Desenhe a imagem de f .
6. Desenhe a imagem de σ(u, v) = (cos v, sen v, u) com 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π.
7. Desenhe a imagem de σ(u, v) = (u, v,
√
1− u2 − v2), com u2 + v2 ≤ 1.
8. Seja σ(θ, ρ) = (2ρ cos θ, ρsenθ). Mostre que σ transforma a reta ρ = 1 numa elipse.
Desenhe tal elipse.
9. Seja a transformação do exerćıcio 10. Desenhe σ(B) onde B é o retângulo 0 ≤ ρ ≤
1, 0 ≤ θ ≤ 2π.
10. Seja σ(u,w) = (u cos v, usenv, w), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π, 0 ≤ w ≤ 1. Desenhe a
imagem de σ.
1
1.2 Campos Vetoriais
1. Represente geometricamente o campo vetorial dado.
(a) v⃗(x, y) = x2 j⃗
(b) h⃗(x, y) = i⃗+ j⃗
(c) F⃗ (x, y) = −y i⃗+ x j⃗ (Observe: (x⃗i+ yj⃗) · (−y⃗i+ x⃗j) = 0)
(d) v⃗(x, y) = (1− x2) j⃗, |x| 0.
4. Seja F⃗ = ∇f , onde f(x, y) = x+ 2y. Desenhe F⃗ (x, y) com (x, y) na reta x+ 2y = 1.
5. Seja F⃗ = ∇φ, onde φ(x, y) = y − x2. Desenhe F⃗ (x, y) com (x, y) na parábola y = x2.
6. Seja F⃗ = ∇f , onde f(x, y, z) = x2 + y2 + z2. Desenhe F⃗ (x, y, z) com x2 + y2 = 1, x >
0, y > 0, z > 0.
7. Seja F⃗ = ∇f , onde f(x, y, z) = x+ y + z. Desenhe F⃗ (x, y, z) com x+ y + z = 1, x >
0, y > 0, z > 0.
8. Seja V (x, y) = x2 + y2. Desenhe um campo F⃗ (x, y) para o qual se tenha ∇V (x, y) ·
F⃗ (x, y) ≡ 0.
1.3 Campos Rotacional
1. Para cada item a seguir, calcule rot F⃗.
(a) F⃗ (x, y, z) = xz i⃗+ xyz j⃗ − y2 k⃗
(b) F⃗ (x, y, z) = sin(y) i⃗+ xz j⃗ + y2z k⃗
(c) F⃗ (x, y, z) = y2z i⃗+ x2z j⃗ + ey k⃗
(d) F⃗ (x, y, z) = x2y i⃗+ x ln(z) j⃗ + zy k⃗
2
(e) F⃗ (x, y, z) = −yz i⃗+ z2ex j⃗ + z k⃗
(f) F⃗ (x, y, z) = −x i⃗+ y j⃗ − xz k⃗
(g) F⃗ (x, y, z) = cos(z) i⃗+ xz j⃗ +
√
y k⃗
(h) F⃗ (x, y) = x2 i⃗− z2k⃗
(i) F⃗ (x, y) = xy i⃗− x2 j⃗
(j) F⃗ (x, y, z) = −y i⃗+ cos(x) j⃗ + z k⃗
(k) F⃗ (x, y, z) = tg x i⃗+ y j⃗ + xz k⃗
(l) F⃗ (x, y, z) = yz i⃗+ xz j⃗ + exy k⃗
(m) F⃗ (x, y) = (x2 + y2) i⃗
(n) F⃗ (x, y) = zxy i⃗+ x2 j⃗
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