Para resolver essa questão, vamos analisar as informações dadas: 1. Todos os algarismos do número são distintos e não nulos: Isso significa que os dígitos do número podem ser de 1 a 9, já que não pode haver zeros e não podem se repetir. 2. O número formado pelos 3 primeiros dígitos é igual a 7 vezes o número formado pelos 3 últimos dígitos: Vamos chamar o número formado pelos 3 primeiros dígitos de \( ABC \) e o número formado pelos 3 últimos dígitos de \( DEF \). Assim, temos a relação: \[ ABC = 7 \times DEF \] Agora, como \( ABC \) e \( DEF \) são números de 3 dígitos, podemos estabelecer que \( DEF \) deve ser um número que, quando multiplicado por 7, ainda resulta em um número de 3 dígitos. Os números de 3 dígitos vão de 100 a 999. Portanto, \( DEF \) deve estar entre: \[ 100 \leq DEF \leq 142 \quad (\text{pois } 7 \times 143 = 1001, \text{ que não é um número de 3 dígitos}) \] Agora, vamos calcular os possíveis valores de \( ABC \) para cada valor de \( DEF \) entre 100 e 142: - Se \( DEF = 100 \), então \( ABC = 700 \) - Se \( DEF = 101 \), então \( ABC = 707 \) (não pode, pois os dígitos não são distintos) - Se \( DEF = 102 \), então \( ABC = 714 \) - Se \( DEF = 103 \), então \( ABC = 721 \) - Se \( DEF = 104 \), então \( ABC = 728 \) - Se \( DEF = 105 \), então \( ABC = 735 \) - Se \( DEF = 106 \), então \( ABC = 742 \) - Se \( DEF = 107 \), então \( ABC = 749 \) - Se \( DEF = 108 \), então \( ABC = 756 \) - Se \( DEF = 109 \), então \( ABC = 763 \) - Se \( DEF = 110 \), então \( ABC = 770 \) (não pode, pois os dígitos não são distintos) - Se \( DEF = 111 \), então \( ABC = 777 \) (não pode, pois os dígitos não são distintos) - Se \( DEF = 112 \), então \( ABC = 784 \) - Se \( DEF = 113 \), então \( ABC = 791 \) - Se \( DEF = 114 \), então \( ABC = 798 \) - Se \( DEF = 115 \), então \( ABC = 805 \) - Se \( DEF = 116 \), então \( ABC = 812 \) - Se \( DEF = 117 \), então \( ABC = 819 \) - Se \( DEF = 118 \), então \( ABC = 826 \) - Se \( DEF = 119 \), então \( ABC = 833 \) - Se \( DEF = 120 \), então \( ABC = 840 \) - Se \( DEF = 121 \), então \( ABC = 847 \) - Se \( DEF = 122 \), então \( ABC = 854 \) - Se \( DEF = 123 \), então \( ABC = 861 \) - Se \( DEF = 124 \), então \( ABC = 868 \) - Se \( DEF = 125 \), então \( ABC = 875 \) - Se \( DEF = 126 \), então \( ABC = 882 \) - Se \( DEF = 127 \), então \( ABC = 889 \) - Se \( DEF = 128 \), então \( ABC = 896 \) - Se \( DEF = 129 \), então \( ABC = 903 \) - Se \( DEF = 130 \), então \( ABC = 910 \) - Se \( DEF = 131 \), então \( ABC = 917 \) - Se \( DEF = 132 \), então \( ABC = 924 \) - Se \( DEF = 133 \), então \( ABC = 931 \) - Se \( DEF = 134 \), então \( ABC = 938 \) - Se \( DEF = 135 \), então \( ABC = 945 \) - Se \( DEF = 136 \), então \( ABC = 952 \) - Se \( DEF = 137 \), então \( ABC = 959 \) - Se \( DEF = 138 \), então \( ABC = 966 \) - Se \( DEF = 139 \), então \( ABC = 973 \) - Se \( DEF = 140 \), então \( ABC = 980 \) - Se \( DEF = 141 \), então \( ABC = 987 \) - Se \( DEF = 142 \), então \( ABC = 994 \) Após verificar todos os casos, os números que atendem a todas as condições (dígitos distintos e não nulos) são: - 714 - 721 - 728 - 735 - 742 - 749 - 756 - 763 - 784 - 791 - 798 Portanto, os possíveis números que Lívia escreveu são: 714, 721, 728, 735, 742, 749, 756, 763, 784, 791, 798.