Para encontrar a equação do plano que passa pelos pontos A(3, 3, 9), B(4, 1, 6) e C(2, -1, 3), precisamos primeiro determinar os vetores \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\): 1. Calcular os vetores: - \(\vec{u} = \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 3, 1 - 3, 6 - 9) = (1, -2, -3)\) - \(\vec{v} = \overrightarrow{AC} = C - A = (2 - 3, -1 - 3, 3 - 9) = (-1, -4, -6)\) 2. Calcular o produto vetorial \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\): \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -3 \\ -1 & -4 & -6 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ \vec{n} = \hat{i}((-2)(-6) - (-3)(-4)) - \hat{j}(1(-6) - (-3)(-1)) + \hat{k}(1(-4) - (-2)(-1)) \] \[ = \hat{i}(12 - 12) - \hat{j}(-6 - 3) + \hat{k}(-4 - 2) \] \[ = \hat{i}(0) - \hat{j}(-9) + \hat{k}(-6) \] \[ = (0, 9, -6) \] 3. Equação do plano: A equação do plano pode ser escrita na forma \(Ax + By + Cz + D = 0\), onde \((A, B, C)\) são as componentes do vetor normal \(\vec{n}\). Assim, temos: \[ 0x + 9y - 6z + D = 0 \] Para encontrar \(D\), substituímos um dos pontos, por exemplo, o ponto A(3, 3, 9): \[ 0(3) + 9(3) - 6(9) + D = 0 \] \[ 27 - 54 + D = 0 \implies D = 27 \] Portanto, a equação do plano é: \[ 9y - 6z + 27 = 0 \implies 3y - 2z + 9 = 0 \] Agora, analisando as alternativas: A) \(x + z - 1 = 0\) - Não é a correta. B) \(3y + 2z - 9 = 0\) - Não é a correta. C) \(9y - 6z + 27 = 0\) - Esta é a correta. D) \(x + 3y - 4z + 11 = 0\) - Não é a correta. Portanto, a alternativa correta é C) \(9y - 6z + 27 = 0\).