Para calcular o volume do reservatório parabólico definido pela função \( f(x,y) = 4 - x^2 - y^2 \) sobre a região circular \( R \) no plano \( xy \), vamos usar coordenadas polares. Na transformação para coordenadas polares, temos: - \( x = r \cos(\theta) \) - \( y = r \sin(\theta) \) - \( dA = r \, dr \, d\theta \) A região circular tem raio 2, então \( 0 \leq r \leq 2 \) e \( 0 \leq \theta < 2\pi \). A função em coordenadas polares fica: \[ f(r, \theta) = 4 - r^2 \] Agora, a integral dupla para o volume \( V \) é dada por: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2) r \, dr \, d\theta \] Calculando a integral interna: \[ \int_0^2 (4r - r^3) \, dr = \left[ 2r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = \left[ 2(2^2) - \frac{(2^4)}{4} \right] = \left[ 8 - 4 \right] = 4 \] Agora, calculamos a integral externa: \[ V = \int_0^{2\pi} 4 \, d\theta = 4 \cdot (2\pi) = 8\pi \] Portanto, o volume do reservatório é \( 8\pi \) metros cúbicos. A alternativa correta é: A O volume é 8π metros cúbicos.