LISTA 6

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE 
GEOMETRIA ESPACIAL 
Obs: As resoluções dos exercícios encontram-se no final desta lista. 
 
1. Quantos vértices tem um poliedro convexo que possui 14 faces e 36 arestas? 
Resposta: 24 vértices 
 
 
2. Dois blocos de ferro, com formato cúbico, têm arestas medindo 10 cm e 8 cm e são levados 
juntos à fusão. 
 
Em seguida, o metal líquido é moldado formando um paralelepípedo com 6 cm de largura, 7 
cm de altura e k cm de comprimento. 
 
Determine o valor do comprimento k do paralelepípedo. Resposta: 36 𝑐𝑚 
 
 
 
3. Um reservatório cúbico está totalmente cheio com 6 m3 de água. Toda essa água foi 
transferida para outro tanque cilíndrico reto de 1 m de raio. Qual a altura, aproximada, de 
água atingida no tanque receptor após a água ser totalmente transferida? (Use 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒). 
Resposta: 1,91 m 
 
 
 
4. Num prisma regular de base hexagonal, a área lateral mede 36 m2 e a altura é 3 m. Qual a 
medida da aresta da base desse prisma? Resposta: 2 m 
 
 
 
5. Uma barra de chocolate tem o formato da figura abaixo. Calcule o volume de chocolate 
contido nessa barra. (Use √𝟑 = 𝟏, 𝟕𝟑.) Resposta: 83,04 cm3 
 
 
6. As medidas internas de uma caixa-d’água em forma de paralelepípedo retângulo são: 1,2 
m, 1 m e 0,7 m. Qual a capacidade desta caixa-d’água? Resposta: 0,84 𝑚3 
 
 
 
7. Calcule o volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas pela 
figura. Resposta: 384 𝑚3 
 
 
 
8. A aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 4 cm. Qual é o volume dessa 
pirâmide, se sua altura mede 𝟔√𝟑 𝒄𝒎? Resposta: 144 𝑐𝑚3 
 
 
9. Uma pirâmide regular tem base quadrada inscrita em um círculo de raio 8 cm e seu 
apótema é igual ao semiperímetro da base. Calcular o volume da pirâmide. 
Resposta: 
512√30
3
 𝑐𝑚3 𝑜𝑢 ≅ 934,78 𝑐𝑚3 
 
 
10. Uma bobina de papel para a fabricação de jornal tem a forma cilíndrica. Sabendo que 
essa bobina tem 102 cm de diâmetro por 137 cm de comprimento, qual a quantidade mínima 
(área) de papel utilizado para embalar cada um desses rolos cilíndricos? (Use 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒). 
Resposta: 6,02 𝑚2 
 
 
11. Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 
12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. Qual a medida do 
raio dessa circunferência, em centímetros? Resposta: 5 𝑐𝑚 
 
 
12. Sabendo que a área de uma superfície esférica é 8𝝅 cm2, calcule a medida do raio da 
esfera. Resposta: √2 𝑐𝑚 
 
 
 
13. Uma fôrma de gelo, como a da figura abaixo, tem a forma de tronco de pirâmide, de bases 
retangulares, com as medidas indicadas. 
 
a) Qual a quantidade de água necessária para encher completamente essa fôrma de gelo? 
Resposta: = 28,62 𝑐𝑚3 
 
b) Sabendo-se que, ao congelar, o volume de água aumenta em 8%, qual o volume de gelo 
que teremos após o congelamento? Resposta: ≅ 30,91𝑐𝑚3 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE 
GEOMETRIA ESPACIAL 
(RESOLUÇÕES) 
1. Quantos vértices tem um poliedro convexo que possui 14 faces e 36 arestas? 
Resposta: 24 vértices 
 
Resolução: 
 
Do enunciado tem-se que 𝐹 = 14 e 𝐴 = 36 
Assim: 
𝑉 + 𝐹 − 𝐴 = 2 
𝑉 + 14 − 36 = 2 
𝑉 = 2 + 36 − 14 
𝑉 = 24 
O poliedro tem 24 vértices. 
 
2. Dois blocos de ferro, com formato cúbico, têm arestas medindo 10 cm e 8 cm e são levados 
juntos à fusão. 
 
 
Em seguida, o metal líquido é moldado formando um paralelepípedo com 6 cm de largura, 7 
cm de altura e k cm de comprimento. 
 
Determine o valor do comprimento k do paralelepípedo. Resposta: 36 𝑐𝑚 
 
Resolução: 
 
Lembremos que, sendo x, y e z as dimensões do paralelepípedo, seu volume é dado por: 
 
𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 = 𝑥 . 𝑦 . 𝑧 
 
Lembremos também que o volume de um cubo de aresta 𝑎 é dado por: 
 
𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝑎
3 
 
Assim, após o derretimento, o paralelepípedo apresenta o mesmo volume dos dois cubos juntos, 
desta forma: 
𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 = 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 1 + 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 2 
𝑥 . 𝑦 . 𝑧 = 𝑎1
3 + 𝑎2
3 
6 . 7 . 𝑘 = 103 + 83 
42𝑘 = 1000 + 512 
42𝑘 = 1512 
𝑘 =
1512
42
⟶ 𝑘 = 36 𝑐𝑚 
 
O comprimento k do paralelepípedo mede 36 cm. 
 
3. Um reservatório cúbico está totalmente cheio com 6 m3 de água. Toda essa água foi 
transferida para outro tanque cilíndrico reto de 1 m de raio. Qual a altura, aproximada, de 
água atingida no tanque receptor após a água ser totalmente transferida? (Use 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒). 
Resposta: 1,91 m 
 
 
 
Resolução: 
 
O volume de água contido no reservatório cúbico, após transferido, é igual ao volume de um cilindro 
(de água) de altura h desconhecida. 
 
Assim: 
𝑉á𝑔𝑢𝑎 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝑉á𝑔𝑢𝑎 𝑛𝑜 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 
6 = 𝜋 . 𝑟2. ℎ 
6 = 3,14 . 12. ℎ 
6 = 3,14 . ℎ 
6
3,14
= ℎ 
ℎ = 1,91 𝑚 
 
Logo, a altura de água no reservatório cilíndrico será de aproximadamente 1,91 m. 
 
 
4. Num prisma regular de base hexagonal, a área lateral mede 36 m2 e a altura é 3 m. Qual a 
medida da aresta da base desse prisma? Resposta: 2 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Sendo 𝑆𝑙 = 36 𝑚
2 a área lateral dada por 𝑆𝑙 = 6 . 𝑙 . ℎ e 𝑙 a medida da aresta 
da base do prisma, tem-se que: 
𝑆𝑙 = 6 . 𝑙 . ℎ 
36 = 6 . 𝑙 . 3 
36 = 18 𝑙 
𝑙 =
36
18
⇒ 𝑙 = 2 𝑚 
A medida da aresta da base desse prisma é 2 m. 
 
 
5. Uma barra de chocolate tem o formato da figura abaixo. Calcule o volume de chocolate 
contido nessa barra. (Use √𝟑 = 𝟏, 𝟕𝟑.) Resposta: 83,04 cm3 
 
Resolução: 
 
O volume (V) de um prisma é dado por: 
𝑉 = 𝐴𝑏 . ℎ 
 
Sendo 𝐴𝑏 a medida área da base e ℎ a medida da altura do prisma. 
 
 
Assim, sendo a base do prisma um triângulo equilátero (todos os lados com medidas iguais) e 
sabendo-se que a área (A) de um triângulo equilátero é dada por 
𝑙2.√3
4
 , tem-se que a área da base 
é: 
𝐴 =
𝑙2. √3
4
 
𝐴 =
42. 1,73
4
 
𝐴 =
16 . 1,73
4
 
𝐴 =
27,68
4
 
 
𝐴 = 6,92 𝑐𝑚2 
 
O volume do prisma é: 
𝑉 = 𝐴𝑏 . ℎ 
 
 
𝑉 = 6,92 . 12 
 
 
𝑉 = 83,04 𝑐𝑚3 
 
O volume do prisma é 83,04 cm3. 
 
 
 
 
 
6. As medidas internas de uma caixa-d’água em forma de paralelepípedo retângulo são: 1,2 
m, 1 m e 0,7 m. Qual a capacidade desta caixa-d’água? Resposta: 0,84 𝑚3 
 
Resolução: 
 
Sendo 𝑎, 𝑏, e 𝑐 as dimensões do paralelepípedo, seu volume (sua capacidade) é: 
 
𝑉 = 𝑎 . 𝑏 . 𝑐 
 
𝑉 = 1,2 . 1 . 0,7 
 
𝑉 = 0,84 𝑚3 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Calcule o volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas pela 
figura. Resposta: 384 𝑚3 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
O galpão tem a forma de um prisma de base quadrangular e a base é formada por um retângulo e 
um triângulo, conforme a figura acima. Assim, a área da base (Sb) será a soma da área do retângulo 
com a área do triângulo: 
 
𝑆𝑏 = 𝑏. ℎ +
𝑏 . ℎ
2
 
𝑆𝑏 = 8.3 +
8 . 2
2
 
𝑆𝑏 = 24 +
16
2
 
 
𝑆𝑏 = 24 + 8 
 
𝑆𝑏 = 32 𝑚
2 
 
 
O volume (V) do prisma será: 
𝑉 = 𝑆𝑏 . ℎ 
 
𝑉 = 32 . 12 
 
𝑉 = 384 𝑚3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. A aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 4 cm. Qual é o volume dessa 
pirâmide, se sua altura mede 𝟔√𝟑 𝒄𝒎? Resposta: 144 𝑐𝑚3 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A base da pirâmide é formada por 6 triângulos equiláteros com lados medindo 4 cm: 
 
 
A área de um triângulo equilátero é dada por 
𝑙2.√3
4
 , desta forma, tem-se que a área da base (𝐴𝑏) da 
pirâmide é: 
𝐴𝑏 = 6 .
𝑙2. √3
4
 
 
𝐴𝑏 = 6 .
42. √3
4
 
 
𝐴𝑏 = 6 .
16. √3
4
 
 
𝐴𝑏 =
96. √3
4
 
 
𝐴𝑏 = 24√3 𝑐𝑚
2 
 
O volume da pirâmide é: 
𝑉 =
1
3
 . 𝐴𝑏 . ℎ 
 
𝑉 =
1
3
 . 24√3 . 6√3 
 
𝑉 =
24 . 6 . √3 . √3
3
 
𝑉 =
144 . √9
3
 
 
𝑉 =
144 . 3
3
 
 
𝑉 =
432
3
 
 
𝑉 = 144 𝑐𝑚3 
 
 
 
9. Uma pirâmide regular tem base quadrada inscrita em um círculo de raio 8 cm e seu 
apótema é igual ao semiperímetro da base. Calcular o volume da pirâmide. 
Resposta: 
512√30
3
 𝑐𝑚3 𝑜𝑢 ≅ 934,78 𝑐𝑚3 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
O volume (𝑉) da pirâmide é dado por 𝑉 =
1
3
 . 𝐴𝑏 . ℎ. Desta forma,para calcular o volume da pirâmide 
temos que saber os valores de sua área da base e de sua altura. 
 
 Cálculo da medida do lado da base da pirâmide: 
 
A medida da diagonal (d) do quadrado é dada por 𝑑 = 𝑙√2. Como a base quadrada está inscrita no 
círculo, e como a diagonal é igual a 2 vezes a medida do raio, tem-se que a diagonal (d) do quadrado 
é igual 2 . 8 = 16. Sabendo-se a medida da diagonal do quadrado, obtém-se a medida do seu lado: 
𝑑 = 𝑙√2 
16 = 𝑙√2 
 
16
√2
= 𝑙 
Racionalizando o denominador, tem-se: 
𝑙 =
16
√2
 .
√2
√2
 
𝑙 =
16 . √2
√4
 
𝑙 =
16 . √2
2
 
𝑙 = 8√2 𝑐𝑚 
 
Sabendo-se a medida do lado do quadrado da base, que a medida do apótema (a) é igual ao 
semiperímetro (
𝑃
2
) da base e que o perímetro (𝑃) do quadrado é igual a 4 vezes a medida do seu 
lado (𝑙), obtém-se a medida do apótema (a) da pirâmide: 
(OBS: Semiperímetro é igual à metade da medida do perímetro). 
 
Assim: 
𝑎 =
𝑃
2
 
𝑎 =
4 . 𝑙
2
 
𝑎 =
4 . 8√2
2
 
𝑎 =
32√2
2
 
 
Assim, a medida do apótema (a) da pirâmide é: 
 
𝑎 = 16√2 𝑐𝑚 
 
 
 
 
Sabendo-se a medida do apótema da pirâmide e a medida do lado do quadrado da base, obtém-
se a medida da altura da pirâmide, aplicando o teorema de Pitágoras: 
 
 
 
 
𝑎2 = ℎ2 + (
𝑙
2
)
2
 
(16√2)
2
= ℎ2 + (
8√2
2
)
2
 
162. (√2)
2
= ℎ2 + (4√2)
2
 
256 . 2 = ℎ2 + 42. (√2)
2
 
512 = ℎ2 + 16 . 2 
512 = ℎ2 + 32 
512 − 32 = ℎ2 
480 = ℎ2 
√480 = ℎ 
 
Decompondo 480 em fatores primos obtém-se 22 . 22 . 2 . 3 . 5 
 
 
ℎ = √22 . 22 . 2 . 3 . 5 
ℎ = 2 . 2 √2 . 3 . 5 
 
 
Assim, a medida da altura da pirâmide é: 
ℎ = 4√30 𝑐𝑚 
 
 
Sabendo-se que a área da base (𝐴𝑏) do quadrado é igual à medida do lado (𝑙) ao quadrado e que 
a altura da pirâmide é 4√30 𝑐𝑚, podemos calcular o volume (𝑉) da pirâmide: 
𝑉 =
1
3
 . 𝐴𝑏 . ℎ 
 
𝑉 =
1
3
 . (8√2)
2
 . 4√30 
𝑉 =
1
3
 . 82. (√2)
2
 . 4√30 
𝑉 =
1
3
 . 64 . 2 . 4√30 
𝑉 =
64 . 2 . 4√30
3
 
𝑉 =
512√30
3
 𝑐𝑚3 
Ou 
𝑉 ≅ 934,78 𝑐𝑚3 
 
 
 
 
 
Decomposição de 480 em 
fatores primos: 
 
480 2 
240 2 
120 2 
60 2 
30 2 
15 3 
5 5 
1 22 . 22 . 2 . 3 . 5 
 
 
 
10. Uma bobina de papel para a fabricação de jornal tem a forma cilíndrica. Sabendo que 
essa bobina tem 102 cm de diâmetro por 137 cm de comprimento, qual a quantidade mínima 
(área) de papel utilizado para embalar cada um desses rolos cilíndricos? (Use 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒). 
Resposta: 6,02 𝑚2 
 
Resolução: 
 
 
Sendo a medida do diâmetro da base igual a 102 cm, e sabendo-se que a medida do raio é igual à 
metade da medida do diâmetro, tem-se que a medida do raio (𝑟) da base é igual a 51 cm. 
 
A área total (𝐴𝑡) do cilindro é dada por: 
𝐴𝑡 = 2𝜋𝑟 . (ℎ + 𝑟) 
Assim: 
𝐴𝑡 = 2 . 3,14 . 51 . (137 + 51) 
𝐴𝑡 = 320,28 . (188) 
𝐴𝑡 = 60212,64 𝑐𝑚
2 
Ou 
𝐴𝑡 ≅ 6,02 𝑚
2 
 
 
11. Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 
12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. Qual a medida do 
raio dessa circunferência, em centímetros? Resposta: 5 𝑐𝑚 
 
Resolução: 
 
 
𝟏𝟑𝟐 = 𝟏𝟐𝟐 + 𝒓𝟐 
 
𝟏𝟔𝟗 = 𝟏𝟒𝟒 + 𝒓𝟐 
 
𝟏𝟔𝟗 − 𝟏𝟒𝟒 = 𝒓𝟐 
 
𝟐𝟓 = 𝒓𝟐 
 
𝒓 = √𝟐𝟓 
 
𝒓 = 𝟓 𝒄𝒎 
 
 
 
 
12. Sabendo que a área de uma superfície esférica é 8𝝅 cm2, calcule a medida do raio da 
esfera. Resposta: √2 𝑐𝑚 
 
Resolução: 
 
A área (𝑆) da superfície esférica é dada por: 
𝑆 = 4 . 𝜋 . 𝑟2 
Assim: 
8𝜋 = 4 . 𝜋 . 𝑟2 
8 = 4 . 𝑟2 
8
4
= 𝑟2 
 
2 = 𝑟2 
𝑟 = √2 𝑐𝑚 
 
 
13. Uma fôrma de gelo, como a da figura abaixo, tem a forma de tronco de pirâmide, de bases 
retangulares, com as medidas indicadas. 
 
a) Qual a quantidade de água necessária para encher completamente essa fôrma de gelo? 
Resposta: = 28,62 𝑐𝑚3 
 
b) Sabendo-se que, ao congelar, o volume de água aumenta em 8%, qual o volume de gelo 
que teremos após o congelamento? Resposta: ≅ 30,91𝑐𝑚3 
 
 
Resolução: 
 
a) Temos que calcular o volume (𝑉) do tronco de pirâmide que é dado por: 
 
𝑉 =
ℎ
3
 . [ 𝐵 + √𝐵 . 𝑏 + 𝑏] 
Onde: 
𝑉 ⟶ é 𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 
ℎ ⟶ é 𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 
𝐵 ⟶ é 𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 
𝑏 ⟶ é 𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 
 
 
Cálculo da área da base maior (𝐵): 
𝐵 = 3,2 . 4,5 = 14,4 𝑐𝑚2 
 
 
Cálculo da área da base menor (𝑏): 
𝑏 = 3 . 1,8 = 5,4 𝑐𝑚2 
 
 
 
 
Sabendo-se a medida da altura do tronco de pirâmide (ℎ = 3 𝑐𝑚), a medida da base maior (𝐵 =
14,4 𝑐𝑚2) e a medida da base menor (𝑏 = 5,4 𝑐𝑚2) do tronco de pirâmide, tem-se que o volume é: 
 
 
𝑉 =
ℎ
3
 . [ 𝐵 + √𝐵 . 𝑏 + 𝑏] 
𝑉 =
3
3
 . [ 14,4 + √14,4 . 5,4 + 5,4] 
𝑉 = 1 . [ 14,4 + √77,76 + 5,4] 
𝑉 = 14,4 + 8,82 + 5,4 
𝑉 = 28,62 𝑐𝑚3 
 
b) Lembremos que 100% equivale ao todo (um inteiro) ou seja, 100% =
100
100
= 1. 
 
Assim: 8% =
8
100
= 0,08 
 
Aumentar em 8% significa somar 0,08 ao inteiro 1. Desta forma: 
 
Aumentar em 8% significa multiplicar por 1 + 0,08, ou seja, multiplicar por 1,08. 
 
Desta forma, o volume (𝑉′) de gelo que teremos após o congelamento será 1,08 multiplicado pelo 
volume inicial (𝑉): 
 
𝑉′ = 1,08 . 𝑉 
𝑉′ = 1,08 . 28,62 
𝑉′ ≅ 30,91𝑐𝑚3