determine o valor de k, positivo, para que as distâncias entre os pontos A(2,-1,2) e B(k,1,-2) seja de 6.

Para determinar o valor de \( k \) que faz com que a distância entre os pontos \( A(2, -1, 2) \) e \( B(k, 1, -2) \) seja 6, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Substituindo os pontos \( A \) e \( B \): \[ 6 = \sqrt{(k - 2)^2 + (1 - (-1))^2 + (-2 - 2)^2} \] Simplificando: \[ 6 = \sqrt{(k - 2)^2 + (1 + 1)^2 + (-4)^2} \] \[ 6 = \sqrt{(k - 2)^2 + 2^2 + 16} \] \[ 6 = \sqrt{(k - 2)^2 + 4 + 16} \] \[ 6 = \sqrt{(k - 2)^2 + 20} \] Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado: \[ 36 = (k - 2)^2 + 20 \] Subtraindo 20 de ambos os lados: \[ 16 = (k - 2)^2 \] Agora, tiramos a raiz quadrada: \[ k - 2 = 4 \quad \text{ou} \quad k - 2 = -4 \] Resolvendo as duas equações: 1. \( k - 2 = 4 \) → \( k = 6 \) 2. \( k - 2 = -4 \) → \( k = -2 \) Como queremos o valor positivo de \( k \), temos: \[ k = 6 \] Portanto, o valor de \( k \) é \( 6 \).