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Universidade da Integração Internacional da Lusofonia
Afro-Brasileira
Lista de Exerćıcios 5 - Análise na Reta I
Professora: Amanda Angélica Feltrin Nunes
1a Questão: Sejam f : X → R, a ∈ X ′ e Y = f(X − {a}). Se lim
x→a
f(x) = L então L ∈ Y .
2a Questão: Sejam f : X → R, g : Y → R com f(X) ⊂ Y , a ∈ X ′ e b ∈ Y ′ ∩ Y . Se
lim
x→a
f(x) = b e lim
y→b
g(y) = c, prove que lim
x→a
g(f(x)) = c, contando que c = g(b) ou então
que x 6= a implique f(x) 6= b.
3a Questão: Sejam f, g : R → R definidas por f(x) = 0 se x é irracional e f(x) = x se
x ∈ Q; g(0) = 1 e g(x) = 0 se x 6= 0. Mostre que lim
x→0
f(x) = 0 e lim
y→0
g(y) = 0, porém não
existe lim
x→0
g(f(x)).
4a Questão: Seja f, g : R→ R definida por f(0) = 0 e f(x) = sin
(
1
x
)
se x 6= 0. Mostre
que para todo c ∈ [−1, 1] existe uma sequência de pontos xn 6= 0 tais que limxn = 0 e
lim f(xn) = c.
2a Questão: Seja [x] o maior inteiro menor ou igual a x. Mostre que lim
x→+∞
[x]
√
x = 1.
5a Questão: Prove que a ∈ X ′+(respectivamente, a ∈ X ′−) se, e somente se a = lim xn é
limite de uma sequência decrescente (respectivamente, crescente) de pontos pertencentes
ao conjunto X.
6a Questão: Sejam f : X → R monótona e a ∈ X ′+. Se existir uma sequência de pontos
xn ∈ X com xn > a, lim xn = a e lim f(xn) = L então
lim
x→a+
f(x) = L.
7a Questão: Seja f : R → R, definida por f(x) = x sinx. Prove que, para todo c ∈ R,
existe uma sequência xn ∈ R com lim
n→+∞
xn = +∞ e lim
n→+∞
f(xn) = c.
8a Questão: Sejam f, g : X → R cont́ınuas no ponto a ∈ X. Prove que são cont́ınuas
no ponto a as funções ϕ, φ : X → R, definidas por ϕ(x) = max{f(x), g(x)} e φ =
min{f(x), g(x)}
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9a Questão: Sejam f, g : X → R cont́ınuas. Prove que se X é aberto então o conjunto
A = {x ∈ X; f(x) 6= g(x)} é aberto e se X é fechado então o conjunto F = {x ∈ X; f(x) =
g(x)} é fechado.
10a Questão: Uma função f : X → R diz-se semi-cont́ınua superiormente (scs) no ponto
a ∈ X quando, para cada c > f(a) dado, existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x−a| < δ implicam
f(x) < c. Defina função semicont́ınua inferiormente (sci) no ponto a. Prove que f é
cont́ınua no ponto a se, e somente se, é scs e sci nesse ponto.
11a Questão: Prove que f : R→ R é cont́ınua se, e somente se, para todo X ⊂ R, tem-se
f(X) ⊂ f(X).
12a Questão: Seja f : X → R descont́ınua no ponto a ∈ X. Prove que existe � > 0
com a seguinte propriedade: ou se pode achar uma sequência de pontos xn ∈ X com
limxn = a e f(xn) > f(a) + � para todo n ∈ N ou acha-se (yn) com yn ∈ X, lim yn = a e
f(yn) < f(a)− � para todo n ∈ N.
13a Questão: Diz-se que uma função f : I → R, definida no intervalo I, tem a propriedade
do valor intermediário quando a imagem f(J) de todo intervalo J ⊂ I é um intervalo.
Seja f : I → R uma função com a propriedade do valor intermediário. Se, para cada
c ∈ R, existe apenas um número finito de pontos x ∈ I tais que f(x) = c, prove que f é
cont́ınua.
14a Questão: Seja f : R → R cont́ınua, tal que lim
x→+∞
f(x) = lim
x→−∞
f(x) = +∞, prove
que existe x0 tal que f(x0) ≤ f(x) para todo x ∈ R.
15a Questão: Prove que não existe uma função cont́ınua f : [a, b] → R que assuma cada
um dos seus valores f(x), x ∈ [a, b], exatamente duas vezes.
16a Questão: Uma função f : R → R diz-se periódica quando existe p ∈ R+ tal que
f(x + p) = f(x) para todo x ∈ R. Prove que toda função cont́ınua periódica f : R → R
é limitada e atinge seus valores máximo e mı́nimo, isto é, existem x0, x1 ∈ R tais que
f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x1) para todo x ∈ R.
17a Questão: Sejam f, g : X → R uniformemente cont́ınuas. Prove que f + g é uniforme-
mente cont́ınua. O mesmo ocorre com o produto f.g, desde que f e g sejam limitadas.
Prove que ϕ, φ : X → R, dadas por ϕ(x) = max{f(x), g(x)} e φ(x) = min{f(x), g(x)},
x ∈ X são uniformemente cont́ınuas.
18a Questão: Seja f : R → R cont́ınua, Se existem lim
x→+∞
f(x) e lim
x→−∞
f(x), prove que f
é uniformemente cont́ınua.