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Universidade da Integração Internacional da Lusofonia
Afro-Brasileira
Lista de Exerćıcios 4 - Análise na Reta I
Professora: Amanda Angélica Feltrin Nunes
1a Questão: Prove que, para todo X ⊂ R tem-se int(intX) = intX e conclua que intX
é um conjunto aberto.
2a Questão: Seja A ⊂ R um conjunto com a seguinte propriedade: ”toda sequência (xn)
que converge para um ponto a ∈ A tem seus termos xn pertencentes a A para todo n
suficientemente grande”. Prove que A é aberto.
3a Questão: Prove que para quaisquer que sejam A,B ⊂ R
(a) int(A) ∪ int(B) ⊂ int(A ∪B)
(b) int(A ∩B) = intA ∩ intB
4a Questão: Para todo X ⊂ R, prove que vale a reunião disjunta R = intX∪ int(R−X)∪
F , onde F é formado pelos pontos x ∈ R tais que toda vizinhança de x contém pontos de
X e pontos de R−X. O conjunto F = frX chama-se fronteira de X. Prove que A ⊂ R
é aberto se, e somente se, A ∩ frA = ∅
5a Questão: Para cada um dos conjuntos seguintes, determine sua fronteira: X =
[0, 1], Y = (0, 1) ∪ (1, 2), Z = Q,W = Z.
6a Questão: Prove que, para todo X ⊂ R, vale X = X ∪ frX. Conclua que X é fechado
se, e somente se, frX ⊂ X
7a Questão: Para todo X ⊂ R, prove que R− intX = R−X e R−X = int(R−X).
8a Questão: Prove que se X ⊂ R tem fronteira vazia então X = ∅ ou X = R.
9a Questão: Sejam X, Y ⊂ R. Prove que X ∪ Y = X ∪ Y e que X ∩ Y ⊂ X ∩ Y .
10a Questão: Dada uma sequência (xn), prove que o fecho do conjunto X = {xn;n ∈ R}
é X = X ∪ A, onde A é o conjunto dos valores de aderência de (xn).
11a Questão: Prove que, para todo X ⊂ R, tem-se X = X∪X ′. Conclua que X é fechado
se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação.
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12a Questão: Prove que, para todo X ⊂ R, X ′ é um conjunto fechado.
13a Questão: Dados X ⊂ R e a ∈ R, as seguintes afirmações são equivalentes:
(i) a é um ponto de acumulação de X;
(ii) a é limite de uma sequência de pontos xn ∈ X − {a}
(iii) Todo intervalo aberto de centro a contém uma infinidade de pontos de X.
14a Questão: Prove que as seguintes afirmações a respeito de um conjunto K ⊂ R são
equivalentes:
(i) K é limitado e fechado;
(ii) toda cobertura aberta de K possui subcobertura finita;
(iii) todo subconjunto infinito de K possui ponto de acumulação pertencente a K.
(iv) toda sequência de pontos de K possui uma subsequência que converge para um
ponto de K.
15a Questão: Prove que uma reunião finita e uma interseção arbitrária de conjuntos
compactos é um conjunto compacto.
16a Questão: Prove que se X é compacto então os seguintes conjuntos também são com-
pactos:
(a) S = {x + y;x, y ∈ X}
(b) S = {x− y;x, y ∈ X}
(c) S = {x.y;x, y ∈ X}
(d) S = {x/y;x, y ∈ X} se 0 /∈ X.