Para encontrar a derivada parcial de \( f \) em relação a \( v \), precisamos usar a regra da cadeia, já que \( f \) depende de \( x \), \( y \) e \( z \), que por sua vez dependem de \( u \) e \( v \). 1. Definindo a função: \[ f(x, y, z) = (x^3)y - (z^4)(y^2) \] onde: \[ x = (u + 1)e^{(v - 1)}, \quad y = u + 2v, \quad z = v \cos(u) \] 2. Calculando as derivadas parciais: Precisamos calcular \( \frac{\partial f}{\partial v} \) usando a regra da cadeia: \[ \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial v} \] 3. Calculando as derivadas parciais de \( f \): - \( \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = x^3 - 2z^4y \) - \( \frac{\partial f}{\partial z} = -4z^3y^2 \) 4. Calculando as derivadas de \( x, y, z \) em relação a \( v \): - \( \frac{\partial x}{\partial v} = (u + 1)e^{(v - 1)} \) - \( \frac{\partial y}{\partial v} = 2 \) - \( \frac{\partial z}{\partial v} = \cos(u) \) 5. Substituindo \( u = 0 \) e \( v = 1 \): - \( x = (0 + 1)e^{(1 - 1)} = 1 \) - \( y = 0 + 2(1) = 2 \) - \( z = 1 \cdot \cos(0) = 1 \) 6. Calculando as derivadas parciais em \( (u, v) = (0, 1) \): - \( \frac{\partial f}{\partial x} = 3(1^2)(2) = 6 \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = 1^3 - 2(1^4)(2) = 1 - 4 = -3 \) - \( \frac{\partial f}{\partial z} = -4(1^3)(2^2) = -16 \) 7. Calculando \( \frac{\partial f}{\partial v} \): \[ \frac{\partial f}{\partial v} = 6 \cdot 1 + (-3) \cdot 2 + (-16) \cdot 1 \] \[ = 6 - 6 - 16 = -16 \] Portanto, o valor da derivada parcial de \( f \) em relação a \( v \) para \( u = 0 \) e \( v = 1 \) é \( -16 \).