Para determinar qual dos polinômios é irredutível sobre \( \mathbb{Z} \), precisamos verificar se eles podem ser fatorados em polinômios de grau menor com coeficientes inteiros. 1. \( f(x) = 3x^3 - 2x \): Pode ser fatorado como \( x(3x^2 - 2) \), então não é irredutível. 2. \( f(x) = 4 + 8x^2 \): Pode ser escrito como \( 4(1 + 2x^2) \), então não é irredutível. 3. \( f(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \): Esse polinômio pode ser fatorado como \( (x + 1)(x + 2)(x + 3) \), então não é irredutível. 4. \( f(x) = x^4 - 2x^3 + 8x + 1 \): Esse polinômio não parece ter raízes racionais e não pode ser facilmente fatorado, então pode ser irredutível. 5. \( f(x) = x^2 + 7x + 12 \): Pode ser fatorado como \( (x + 3)(x + 4) \), então não é irredutível. Dentre as opções, o polinômio que parece ser irredutível sobre \( \mathbb{Z} \) é: \( f(x) = x^4 - 2x^3 + 8x + 1 \).