Questão resolvida - Determine a integral abaixo ∫sen²(x)cos²(x)dx - Cálculo I - UNESP

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine a integral abaixo 
 
sen² x cos² x dx∫ ( ) ( )
 
Resolução:
 
A derivada dessa função passa por uma série de substituições trigonométricas, primeiro, 
vamos reescrever a função;
 
sen² x cos² x = sen x cos x( ) ( ) [ ( ) ( )]2
 
Agora, aplicamos a substituição trigonométrica;
 
sen 2x = 2sen x cos x sen x cos x =( ) ( ) ( ) → ( ) ( )
sen 2x
2
( )
 
Substituindo, fica;
sen² x cos² x dx = sen x cos x dx = dx = dx = sen 2x dx∫ ( ) ( ) ∫[ ( ) ( )]2 ∫ sen 2x
2
( )
2
∫sen 2x
4
2( ) 1
4
∫ 2( )
 
Necessitamos aplicar uma outra substituição trigonométrica;
 
sen 2x = -2( )
1
2
cos 2 ⋅ 2x
2
( )
 
Assim, a integral fica;
 
sen 2x dx = - dx = dx = ⋅ 1 - cos 4x dx
1
4
∫ 2( ) 1
4
∫ 1
2
cos 2 ⋅ 2x
2
( ) 1
4
∫ 1 - cos 4x
2
( ) 1
4
1
2
∫( ( ))
 
= 1 - cos 4x dx = 1 dx + -cos 4x dx = - cos 4x dx
1
8
∫( ( )) 1
8
∫( ) 1
8
∫( ( )) x
8
1
8
∫ ( )
 
Vamos resolver a integral que apareceu separadamente;
 
 
 
cos 4x dx; u = 4x du = 4dx 4dx = du dx =∫ ( ) → → → du
4
 
Substituindo, fica : cos 4x dx = cos u = =∫ ( ) ∫ ( )du
4
sen u
4
( ) sen 4x
4
( )
 
Voltando para a integral original, temos;
 
sen² x cos² x dx = - ⋅ = x- + c∫ ( ) ( ) x
8
1
8
sen 4x
4
( ) 1
8
sen 4x
4
( )
 
 
(Resposta)