Para calcular a área de uma superfície esférica em coordenadas esféricas, utilizamos a seguinte expressão: A área \( A \) de uma superfície esférica de raio \( r \) é dada pela integral dupla: \[ A = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} r^2 \sin(\phi) \, d\phi \, d\theta \] Analisando as alternativas: a) double integral for D of \( r^2 \cos(\phi) \, d\theta \, d\phi \) - Incorreto, pois usa \( \cos(\phi) \) em vez de \( \sin(\phi) \). b) double integral for D of \( r^3 \sin^2(\phi) \, d\theta \, d\phi \) - Incorreto, pois o fator \( r^3 \) não é correto. c) double integral for D of \( r \sin(\phi) \, d\theta \, d\phi \) - Incorreto, pois falta o quadrado do raio. d) double integral for D of \( r^2 \sin(\phi) \, d\theta \, d\phi \) - Correto, pois é a expressão correta para a área da superfície esférica. e) double integral for D of \( r \, d\theta \, d\phi \) - Incorreto, pois falta o quadrado do raio e o fator \( \sin(\phi) \). Portanto, a alternativa correta é: d) double integral for D of \( r^2 \sin(\phi) \, d\theta \, d\phi \).