Para determinar o valor de \( k \) para o qual o vetor \( \mathbf{v} = (-8, 14, 7) \) é uma combinação linear dos vetores \( \mathbf{u_1} = (2, -3, 2) \) e \( \mathbf{u_2} = (-1, k, 4) \), precisamos resolver a seguinte equação: \[ c_1 \cdot \mathbf{u_1} + c_2 \cdot \mathbf{u_2} = \mathbf{v} \] onde \( c_1 \) e \( c_2 \) são escalares. Isso resulta no sistema de equações: 1. \( 2c_1 - c_2 = -8 \) 2. \( -3c_1 + kc_2 = 14 \) 3. \( 2c_1 + 4c_2 = 7 \) Agora, podemos resolver esse sistema. Vamos usar a primeira e a terceira equação para encontrar \( c_1 \) e \( c_2 \). Da primeira equação, isolamos \( c_2 \): \[ c_2 = 2c_1 + 8 \] Substituindo \( c_2 \) na terceira equação: \[ 2c_1 + 4(2c_1 + 8) = 7 \] Resolvendo: \[ 2c_1 + 8c_1 + 32 = 7 \] \[ 10c_1 + 32 = 7 \] \[ 10c_1 = 7 - 32 \] \[ 10c_1 = -25 \] \[ c_1 = -\frac{25}{10} = -\frac{5}{2} \] Agora, substituímos \( c_1 \) de volta na equação para \( c_2 \): \[ c_2 = 2(-\frac{5}{2}) + 8 = -5 + 8 = 3 \] Agora, substituímos \( c_1 \) e \( c_2 \) na segunda equação para encontrar \( k \): \[ -3(-\frac{5}{2}) + k(3) = 14 \] \[ \frac{15}{2} + 3k = 14 \] \[ 3k = 14 - \frac{15}{2} \] \[ 3k = \frac{28}{2} - \frac{15}{2} = \frac{13}{2} \] \[ k = \frac{13}{6} \] Portanto, o valor de \( k \) é \( \frac{13}{6} \).