Considere o operador linear T : R 3 → R 3 dado por: T(x, y, z) = (3x, 2y, y + 2z). Obtenha o polinômio característico p(λ), obtenha também os autov...

Para encontrar o polinômio característico, precisamos calcular a matriz associada ao operador linear T e, em seguida, encontrar seu determinante. Temos que: T(x, y, z) = (3x, 2y, y + 2z) A matriz associada a T é: [ 3 0 0 ] [ 0 2 1 ] [ 0 1 2 ] O polinômio característico p(λ) é dado por: det(A - λI), onde A é a matriz associada a T e I é a matriz identidade. Assim, temos: p(λ) = det(A - λI) p(λ) = det([ 3-λ 0 0 ] [ 0 2-λ 1 ] [ 0 1 2-λ]) p(λ) = (3-λ) [(2-λ)(2-λ) - 1] - 0 + 0 p(λ) = (3-λ) [(λ-2)(λ-2) - 1] p(λ) = (3-λ) (λ² - 4λ + 3) p(λ) = λ³ - 7λ² + 12λ - 6 Portanto, o polinômio característico é p(λ) = λ³ - 7λ² + 12λ - 6. Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação p(λ) = 0. λ³ - 7λ² + 12λ - 6 = 0 Podemos verificar que λ = 1 é uma raiz dessa equação. Dividindo p(λ) por (λ-1), obtemos: p(λ) = (λ-1)(λ² - 6λ + 6) As outras raízes são as raízes da equação λ² - 6λ + 6 = 0. Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos: λ = 3 ± √3 Portanto, os autovalores são λ1 = 1, λ2 = 3 + √3 e λ3 = 3 - √3. Para encontrar os autovetores associados a cada autovalor, precisamos resolver o sistema de equações (A - λI)v = 0, onde A é a matriz associada a T e λ é um autovalor. Para λ1 = 1, temos: (A - λ1I)v1 = 0 [ 2 0 0 ][x] [0] [ 0 1 1 ][y] = [0] [ 0 1 1 ][z] [0] Resolvendo esse sistema, encontramos que os autovetores associados a λ1 são da forma v1 = (0, t, -t), onde t é um número real não nulo. Para λ2 = 3 + √3, temos: (A - λ2I)v2 = 0 [-√3 0 0 ][x] [0] [ 0 -√3 1 ][y] = [0] [ 0 1 -√3][z] [0] Resolvendo esse sistema, encontramos que os autovetores associados a λ2 são da forma v2 = (t, -t(3+√3)/√3, t), onde t é um número real não nulo. Para λ3 = 3 - √3, temos: (A - λ3I)v3 = 0 [√3 0 0 ][x] [0] [ 0 √3 1 ][y] = [0] [ 0 1 √3][z] [0] Resolvendo esse sistema, encontramos que os autovetores associados a λ3 são da forma v3 = (t, -t(3-√3)/√3, t), onde t é um número real não nulo. Portanto, os autovalores são λ1 = 1, λ2 = 3 + √3 e λ3 = 3 - √3, e os autovetores associados são v1 = (0, t, -t), v2 = (t, -t(3+√3)/√3, t) e v3 = (t, -t(3-√3)/√3, t), respectivamente.