Sejam f, g : Rn → R tais que g(x) = f(x)+f(x)5. Se f é cont́ınua e g ∈ Cr, então f ∈ Cr.

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Soluções Curso de Análise volume 2 capítulo 3

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Para mostrar que se \( g(x) = f(x) + f(x)^5 \) e \( g \) é \( C^r \), então \( f \) também é \( C^r \), podemos usar a regra da cadeia e a continuidade de \( f \). 1. Continuidade de \( f \): Como \( f \) é contínua, isso significa que \( f \) não tem descontinuidades. 2. Derivadas de \( g \): A função \( g \) é composta por \( f \) e \( f^5 \). Se \( g \) é \( C^r \), isso implica que todas as derivadas de \( g \) até a ordem \( r \) existem e são contínuas. 3. Aplicando a regra da cadeia: Para derivar \( g \), usamos a regra da soma e a regra do produto. As derivadas de \( f \) também aparecerão nas derivadas de \( g \). 4. Conclusão: Como \( g \) é \( C^r \) e envolve \( f \) e suas potências, a continuidade e a diferenciabilidade de \( g \) implicam que \( f \) deve ser \( C^r \) também, pois as derivadas de \( g \) dependem das derivadas de \( f \). Portanto, se \( g \in C^r \) e \( f \) é contínua, então \( f \) também é \( C^r \).

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Seja U ⊂ Rm aberto e conexo. Se f : U → R possui, em todos os pontos de U , derivadas parciais nulas então f é constante.

Se f : U → R, definida no aberto U ⊂ Rm, assume seu valor máximo (ou mínimo) num ponto a ∈ U então qualquer derivada parcial de f que exista no ponto a é nula.

Se X ⊂ Rm é convexo e Y ⊂ Rn é arbitrário, então X × Y ⊂ Rm+n é i-convexo para todo i = 1, . . . ,m. Dê exemplo de um aberto conexo U ⊂ R2 que seja 1-convexo e 2-convexo, mas não seja convexo.

Sejam ϕ, ψ : R2 → R definidas por ϕ(x, y) = (x2 − y)2y2/x8, ψ(x, y) = (x2 − y)2y2/(x7√x), se x > 0 e 0 < y < x2. Nos demais pontos de R2, ponha ϕ(x, y) = ψ(x, y) = 0. Mostre que ϕ e ψ possuem derivadas direcionais ∂ϕ/∂v, ∂ψ/∂v em todos os pontos do plano e que essas derivadas dependem linearmente de v. Mostre ainda que ψ é contínua em R2, mas ϕ é contínua apenas em R2−{0}. Finalmente, considerando o caminho diferenciável λ : R → R2, dado por λ(t) = (t, t2), a função composta ψ ◦ λ : R → R não é derivável no ponto t = 0.

Seja f : Rm → R uma função cont́ınua, possuindo todas as derivadas direcionais em qualquer ponto de Rm. Se ∂f / ∂u (u) > 0 para todo u ∈ Sm−1, então existe um ponto a ∈ Rm tal que ∂f / ∂v (a) = 0 seja qual for v ∈ Rm.

Uma função holomorfa que só assume valores reais num aberto conexo é constante. (Idem, para valores numa reta qualquer do plano.)

Sejam f = u + iv uma função holomorfa e ϕ, ψ caminhos diferenciáveis, com valores no domı́nio de f , tais que u◦ϕ e v ◦ψ são constantes. Se ϕ(s) = ψ(t) e f ′(ϕ(s)) ̸= 0, então ⟨ϕ′(s), ψ′(t)⟩ = 0.

Seja f : Rm → R diferenciável, tal que f(x^2) = f(x)^2 para todo x ∈ Rm.
Prove que f é linear.

Todo funcional linear f : Rm → R é diferenciável e df(x) · v = f · v para quaisquer x, v ∈ Rm.
Prove a afirmação.

Seja f : U → R uma função que possui todas as derivadas direcionais ∂f/∂v (a) num ponto a ∈ U, U ⊂ Rm aberto.
Se não existirem pelo menos m−1 vetores v, linearmente independentes, tais que ∂f/∂v (a) = 0, então f não é diferenciável no ponto a.

Cálculo

Sejam f, g : Rn → R tais que g(x) = f(x)+f(x)5. Se f é cont́ınua e g ∈ Cr, então f ∈ Cr.

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Seja U ⊂ Rm aberto e conexo. Se f : U → R possui, em todos os pontos de U , derivadas parciais nulas então f é constante.

Se f : U → R, definida no aberto U ⊂ Rm, assume seu valor máximo (ou mínimo) num ponto a ∈ U então qualquer derivada parcial de f que exista no ponto a é nula.

Se X ⊂ Rm é convexo e Y ⊂ Rn é arbitrário, então X × Y ⊂ Rm+n é i-convexo para todo i = 1, . . . ,m. Dê exemplo de um aberto conexo U ⊂ R2 que seja 1-convexo e 2-convexo, mas não seja convexo.

Seja f : Rm → R uma função cont́ınua, possuindo todas as derivadas direcionais em qualquer ponto de Rm. Se ∂f / ∂u (u) > 0 para todo u ∈ Sm−1, então existe um ponto a ∈ Rm tal que ∂f / ∂v (a) = 0 seja qual for v ∈ Rm.

Uma função holomorfa que só assume valores reais num aberto conexo é constante. (Idem, para valores numa reta qualquer do plano.)

Sejam f = u + iv uma função holomorfa e ϕ, ψ caminhos diferenciáveis, com valores no domı́nio de f , tais que u◦ϕ e v ◦ψ são constantes. Se ϕ(s) = ψ(t) e f ′(ϕ(s)) ̸= 0, então ⟨ϕ′(s), ψ′(t)⟩ = 0.

Seja f : Rm → R diferenciável, tal que f(x^2) = f(x)^2 para todo x ∈ Rm.Prove que f é linear.

Todo funcional linear f : Rm → R é diferenciável e df(x) · v = f · v para quaisquer x, v ∈ Rm.Prove a afirmação.

Seja f : U → R uma função que possui todas as derivadas direcionais ∂f/∂v (a) num ponto a ∈ U, U ⊂ Rm aberto.Se não existirem pelo menos m−1 vetores v, linearmente independentes, tais que ∂f/∂v (a) = 0, então f não é diferenciável no ponto a.

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Seja f : U → R uma função que possui todas as derivadas direcionais ∂f/∂v (a) num ponto a ∈ U, U ⊂ Rm aberto.
Se não existirem pelo menos m−1 vetores v, linearmente independentes, tais que ∂f/∂v (a) = 0, então f não é diferenciável no ponto a.