Uma função holomorfa que só assume valores reais num aberto conexo é constante. (Idem, para valores numa reta qualquer do plano.)

A afirmação é verdadeira e pode ser explicada pelo Teorema de Liouville. Se uma função \( f(z) \) é holomorfa em um aberto conexo e assume apenas valores reais, isso implica que a função é constante. Aqui está o raciocínio passo a passo: 1. Holomorfia: Uma função é holomorfa se é diferenciável em um domínio aberto. Isso implica que ela é contínua e possui derivadas de todas as ordens. 2. Valores Reais: Se \( f(z) \) assume apenas valores reais, podemos escrever \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \), onde \( u \) e \( v \) são as partes real e imaginária, respectivamente. Como \( f(z) \) é real, temos \( v(x, y) = 0 \) para todo \( z \) no domínio. 3. Equações de Cauchy-Riemann: Para que \( f(z) \) seja holomorfa, as funções \( u \) e \( v \) devem satisfazer as equações de Cauchy-Riemann. Como \( v = 0 \), as equações se reduzem a \( \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \) e \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \). Isso implica que \( u \) não depende de \( y \) e é constante em relação a \( x \). 4. Conclusão: Como \( u \) é constante em um aberto conexo, a função \( f(z) \) deve ser constante. Portanto, a função holomorfa que assume apenas valores reais em um aberto conexo é, de fato, constante. O mesmo raciocínio se aplica se a função assume valores em uma reta qualquer do plano.