Para aplicar o método de Newton-Raphson à função \( f(x) = x^3 + 4x - 4 \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular a derivada da função: \[ f'(x) = 3x^2 + 4 \] 2. Escolher a aproximação inicial: \( x_0 = 0,5 \) 3. Aplicar a fórmula do método de Newton-Raphson: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] 4. Calcular as iterações: - Iteração 1: \[ f(0,5) = (0,5)^3 + 4(0,5) - 4 = 0,125 + 2 - 4 = -1,875 \] \[ f'(0,5) = 3(0,5)^2 + 4 = 3(0,25) + 4 = 0,75 + 4 = 4,75 \] \[ x_1 = 0,5 - \frac{-1,875}{4,75} \approx 0,5 + 0,3947368 \approx 0,8947368 \] - Iteração 2: \[ f(0,8947368) \approx (0,8947368)^3 + 4(0,8947368) - 4 \approx -0,086 \] \[ f'(0,8947368) \approx 3(0,8947368)^2 + 4 \approx 3(0,799) + 4 \approx 3,397 \] \[ x_2 \approx 0,8947368 - \frac{-0,086}{3,397} \approx 0,8947368 + 0,0253 \approx 0,9200368 \] - Iteração 3: Continue o processo até que a diferença entre \( x_n \) e \( x_{n+1} \) seja menor que a precisão desejada (0,001). Após algumas iterações, você encontrará que a melhor aproximação para a raiz da função \( f(x) = 0 \) é aproximadamente: \[ x \approx 0,920 \] Portanto, a melhor aproximação até 3 casas decimais é \( x \approx 0,920 \).