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Existem inúmeros meios de se tentar mensurar uma área sob uma curva. Uma aproximação válida é dada pela igualdade a seguir, que faz essa mensuração por meio de retângulos.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca dessa representação, analise as afirmativas a seguir: Está correto apenas o que se afirma em:
I. ∆x refere-se a largura de cada retângulo.
II. O n tendendo ao infinito indica um crescente número de retângulos.
III. A multiplicação f(Xk)* ∆x equivale a área de um retângulo.
IV. Esse método mensura com exatidão a área sob a curva.
1. III e IV.
2. I e II.
3. I, II e IV.
4. II e IV.
5. Correta: I, II e III.

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Vamos analisar cada afirmativa: I. ∆x refere-se a largura de cada retângulo. Verdadeiro, ∆x é a largura de cada retângulo na aproximação da área sob a curva. II. O n tendendo ao infinito indica um crescente número de retângulos. Verdadeiro, à medida que n aumenta, o número de retângulos utilizados para a aproximação da área também aumenta. III. A multiplicação f(Xk) * ∆x equivale a área de um retângulo. Verdadeiro, essa multiplicação representa a área de um retângulo onde f(Xk) é a altura e ∆x é a largura. IV. Esse método mensura com exatidão a área sob a curva. Falso, o método de aproximação por retângulos (como a regra dos retângulos) não garante a exatidão da área sob a curva, especialmente se a função não for linear. Com base nas análises, as afirmativas verdadeiras são I, II e III. Portanto, a alternativa correta que contém todos os itens verdadeiros é: 5. Correta: I, II e III.

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O estudo das funções exponenciais e logarítmicas e suas propriedades têm fundamental importância para o Cálculo, pois essas funções descrevem uma série de fenômenos observados nas ciências naturais.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre o significado da derivada como limite e seu uso em problemas da reta tangente e de velocidade instantânea, analise as afirmativas a seguir: Está correto apenas o que se afirma em:
I. A integral de qualquer função exponencial é a própria função.
II. Diferentemente da derivada, a integral não pode ser calculada por meio de limites.
III. A integral de 4e^(2x) é igual a 2e^(2x).
IV. Os gráficos de f(x) = e^x e de g(x) = ln(x) são simétricos em relação à reta y = x.
1. I, e IV.
2. II, III e IV.
3. I, II e III.
4. Incorreta: II e III.
5. II e IV.

Existem diversas propriedades de integração, entre elas a de funções exponenciais, que são importantes funções que modelam fenômenos naturais, econômicos e sociais. De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre funções exponenciais e logarítmicas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
I. ( ) A integral indefinida de f(x) = e^x + e^(2x) resulta na primitiva F(x) = (½)(e^x)(e^x + 2).
II. ( ) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = (⅗)x no intervalo [1, e] é igual a 3/5.
III. ( ) A função h(x) = e^x + x² apresenta apenas valores positivos de integral, qualquer que seja o intervalo de integração.
IV. ( ) A integral indefinida de i(x) = 1/(2x+1) resulta na primitiva I(x) = ln(2x+1)/2 + C.
1. F, F, V, V.
2. V, V, V, F.
3. V, F, V, V.
4. Incorreta: F, V, V, F.
5. F, F, F, V.

No cálculo de integrais definidas de funções, após fazer a integral indefinida da função, é necessário substituir os limites do intervalo na fórmula da primitiva e realizar um cálculo. E isso significa calcular a área entre a curva da função e o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integração de funções polinomiais, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. A seguir, assinale a alternativa correta.
I. A primitiva da função f(x) = 2x + 1 é F(x) = x(x + 1) + C, e a integral definida no intervalo [1,2] vale 4.
II. A integral de f(x) num intervalo [a,b] qualquer equivale à área definida pelo eixo x, pelas retas y = a, y = b e pela curva dessa função, e esse valor equivale a F(b) – F(a).
1. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
2. Incorreta: As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
3. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
4. As asserções I e II são proposições falsas.
5. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.

As funções trigonométricas, ou aquelas chamadas de funções circulares, são definidas a partir do círculo trigonométrico. Elas possuem um caráter periódico e suas variáveis e integrais estão relacionadas entre si.
Com base no seu conhecimento acerca das integrais das funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
I. ( ) A integral do seno relaciona-se com o cosseno.
II. ( ) A integral da tangente relaciona-se com a secante.
III. ( ) A derivada primeira e a integral do seno são iguais.
IV. ( ) Ao integrar duas vezes a função seno, obtém-se –sen(x).
1. Incorreta: V, F, F, V.
2. F, V, F, F.
3. V, F, V, F.
4. V, V, F, V.
5. F, F, V, V.

Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. Entretanto, não podemos tomar toda função como integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a integral definida, precisamos analisar a continuidade da função.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas de funções circulares, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. A seguir, assinale a alternativa correta.
I. A integral definida de f(x) = cos(x)/(sen²(x)) no intervalo [π/3, π/2] é igual a 1.
II. A integral dessa função nesse intervalo pode ser calculada por substituição de sen(x) por outra variável ou então reescrevendo a função como f(x) = (1/sen(x))(cos(x)/sen(x)) = cossec(x)cotg(x), cuja primitiva pode ser consultada em uma tabela de integração, sendo F(x) = -cossec(x) + C. Então, basta calcular F(π/2) – F(π/3).
1. Correta: A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
2. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta da I.
3. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
4. As asserções I e II são proposições falsas.
5. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.

O estudo acerca das integrais é fundamental para alunos que estudam Cálculo. Por meio delas, tem-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos, portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração indefinida, analise as afirmativas a seguir: Está correto apenas o que se afirma em:
I. Uma Integral indefinida é delimitada na forma .
II. As integrais indefinidas dão somente uma resposta específica, ou seja, só há uma resposta possível.
III. Com a integração indefinida, é possível calcular o valor da integral em um determinado ponto.
IV. A constante adicionada ao final da integração indica que há uma família de respostas possível para o cálculo.
1. I, II e IV.
2. II e IV.
3. II, III.
4. I, II, III.
5. Correta: I e IV.