Vamos analisar as afirmativas com base na função dada \( f(x,y) = x^3 + x^2y^3 \). Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais: 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 2xy^3 \] Portanto, a afirmativa I está correta. 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2y^2 \] Portanto, a afirmativa II está correta. 3. Derivadas parciais mistas: Para as derivadas parciais mistas, temos: \[ f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 6xy^2 \] e \[ f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 6xy^2 \] Portanto, \( f_{xy} = f_{yx} \), o que é correto, mas a afirmativa III não está clara na sua formulação. Se a afirmativa III diz que as derivadas parciais mistas são iguais, isso é verdade, mas a forma como foi escrita não está clara. Agora, analisando as alternativas: - A) II, apenas. (Incorreta, pois I também está correta) - B) I, apenas. (Incorreta, pois II também está correta) - C) II e III, apenas. (Incorreta, pois I também está correta) - D) I, II e III. (Correta, considerando que I e II estão corretas e III é verdadeira em relação à igualdade das derivadas mistas) - E) I e II, apenas. (Incorreta, pois III também é verdadeira) Portanto, a alternativa correta é: D) I, II e III.