Vamos analisar a matriz A definida pela regra de formação: - \( a_{ij} = 1 \) se \( i \neq j \) - \( a_{ij} = 0 \) se \( i = j \) Isso significa que a matriz A é uma matriz que tem zeros na diagonal principal e uns nas posições fora da diagonal. Para uma matriz 3x3, A seria: \[ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] Agora, vamos analisar cada alternativa: a. O resultado de A - I é a matriz nula, em que todos os elementos são zero. - A matriz identidade \( I \) de ordem 3x3 é: \[ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] - Portanto, \( A - I \) resulta em: \[ A - I = \begin{bmatrix} 0-1 & 1-0 & 1-0 \\ 1-0 & 0-1 & 1-0 \\ 1-0 & 1-0 & 0-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \] - Portanto, essa alternativa é falsa. b. A matriz A + I possui elementos nulos, ou seja, elementos iguais a zero. - \( A + I \) resulta em: \[ A + I = \begin{bmatrix} 0+1 & 1+0 & 1+0 \\ 1+0 & 0+1 & 1+0 \\ 1+0 & 1+0 & 0+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \] - Portanto, essa alternativa é falsa. c. A matriz A é uma matriz simétrica, com elementos que obedecem a \( a_{ij} = a_{ji} \). - Observando a matriz A, temos que \( a_{12} = 1 \) e \( a_{21} = 1 \), mas \( a_{13} = 1 \) e \( a_{31} = 1 \), e assim por diante. Portanto, \( A \) é simétrica. - Essa alternativa é verdadeira. d. A matriz A é antissimétrica, com elementos que obedecem a \( a_{ij} = -a_{ji} \). - Como já vimos, \( a_{ij} \) não é igual a \( -a_{ji} \) para todos os elementos. Portanto, essa alternativa é falsa. e. As matrizes A e \( A^T \) são diferentes, ou seja, cada elemento de A é diferente do elemento correspondente de \( A^T \). - Como A é simétrica, \( A = A^T \). Portanto, essa alternativa é falsa. A única alternativa correta é: c. A matriz A é uma matriz simétrica, com elementos que obedecem a \( a_{ij} = a_{ji} \).