Vamos analisar a matriz A conforme a regra de formação dada: A matriz A é definida como: - \( a_{ij} = 1 \) se \( i \neq j \) - \( a_{ij} = 0 \) se \( i = j \) Isso significa que A é uma matriz onde todos os elementos da diagonal principal são 0 e todos os outros elementos são 1. A matriz A de ordem 3x3 fica assim: \[ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] Agora, vamos analisar cada alternativa: a. O resultado de \( A - I \) é a matriz nula, em que todos os elementos são zero. - \( I \) é a matriz identidade de ordem 3x3: \[ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] - Portanto, \( A - I \) resulta em: \[ A - I = \begin{bmatrix} 0-1 & 1-0 & 1-0 \\ 1-0 & 0-1 & 1-0 \\ 1-0 & 1-0 & 0-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \] - Não é a matriz nula. b. A matriz \( A + I \) possui elementos nulos, ou seja, elementos iguais a zero. - \( A + I \) resulta em: \[ A + I = \begin{bmatrix} 0+1 & 1+0 & 1+0 \\ 1+0 & 0+1 & 1+0 \\ 1+0 & 1+0 & 0+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \] - Não possui elementos nulos. c. A matriz A é antissimétrica, com elementos que obedecem a \( a_{ij} = -a_{ji} \). - Para A, \( a_{ij} = 1 \) se \( i \neq j \) e \( a_{ji} = 1 \) se \( j \neq i \), mas não é verdade que \( a_{ij} = -a_{ji} \). Portanto, não é antissimétrica. d. As matrizes A e \( A^T \) são diferentes, ou seja, cada elemento de A é diferente do elemento correspondente de \( A^T \). - A matriz transposta \( A^T \) é: \[ A^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] - A matriz A é igual à sua transposta, portanto, não são diferentes. e. A matriz A é uma matriz simétrica, com elementos que obedecem a \( a_{ij} = a_{ji} \). - Como vimos, \( A \) é igual a \( A^T \), então A é simétrica. Portanto, a alternativa correta é: e. A matriz A é uma matriz simétrica, com elementos que obedecem a \( a_{ij} = a_{ji} \).