Para determinar o vetor gradiente da função \( h(x, y, z) = (x + 2)^2 \ln(y^2 + z) \), precisamos calcular as derivadas parciais em relação a \( x \), \( y \) e \( z \). 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial h}{\partial x} = 2(x + 2) \ln(y^2 + z) \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): Usando a regra do produto e a regra da cadeia: \[ \frac{\partial h}{\partial y} = (x + 2)^2 \cdot \frac{1}{y^2 + z} \cdot 2y = \frac{2y (x + 2)^2}{y^2 + z} \] 3. Derivada parcial em relação a \( z \): Novamente, usando a regra do produto e a regra da cadeia: \[ \frac{\partial h}{\partial z} = (x + 2)^2 \cdot \frac{1}{y^2 + z} \] Assim, o vetor gradiente \( \nabla h(x, y, z) \) é dado por: \[ \nabla h(x, y, z) = \left( 2(x + 2) \ln(y^2 + z), \frac{2y (x + 2)^2}{y^2 + z}, \frac{(x + 2)^2}{y^2 + z} \right) \] Agora, analisando as alternativas: a) \((x + 2)/(y^2 + z), (2y (x + 2)^2)/(y^2 + z), ((x + 2)^2)/(y^2 + z)\) b) \((x + 2) \ln(y^2 + z), (2z (x + 2)^2)/(y^2 + z), (y (x + 2)^2)/(y^2 + z)\) c) \(2 \ln(y^2 + z), ((x + 2)^2)/(y^2 + z), (y (x + 2)^2)/(y^2 + z)\) d) \((x + 2) \ln(y + z), (xyz)/(y^2 + z), (z (x + 2)^2)/(y^2 + z)\) e) \(2(x + 2) \ln(y^2 + z), (2y (x + 2)^2)/(y^2 + z), ((x + 2)^2)/(y^2 + z)\) A alternativa que corresponde ao vetor gradiente que encontramos é a e) \(2(x + 2) \ln(y^2 + z), (2y (x + 2)^2)/(y^2 + z), ((x + 2)^2)/(y^2 + z)\).