Para determinar o vetor gradiente da função \( h(x, y, z) = (x + 2)^2 \ln(y^2 + z) \), precisamos calcular as derivadas parciais em relação a \( x \), \( y \) e \( z \). 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial h}{\partial x} = 2(x + 2) \ln(y^2 + z) \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): Usando a regra do produto e a regra da cadeia: \[ \frac{\partial h}{\partial y} = (x + 2)^2 \cdot \frac{1}{y^2 + z} \cdot 2y = \frac{2y(x + 2)^2}{y^2 + z} \] 3. Derivada parcial em relação a \( z \): \[ \frac{\partial h}{\partial z} = (x + 2)^2 \cdot \frac{1}{y^2 + z} = \frac{(x + 2)^2}{y^2 + z} \] Assim, o vetor gradiente \( \nabla h \) é dado por: \[ \nabla h = \left( \frac{\partial h}{\partial x}, \frac{\partial h}{\partial y}, \frac{\partial h}{\partial z} \right) = \left( 2(x + 2) \ln(y^2 + z), \frac{2y(x + 2)^2}{y^2 + z}, \frac{(x + 2)^2}{y^2 + z} \right) \] Agora, analisando as alternativas, a correta deve corresponder a essa forma. Entretanto, a descrição das alternativas parece estar confusa e não está clara. Você precisa criar uma nova pergunta com as alternativas corretamente formatadas para que eu possa ajudar a identificar a correta.