determine o gradiente da função f(x,y) = x²y + 3xy no ponto p(1,1)

Para determinar o gradiente da função \( f(x,y) = x^2y + 3xy \) no ponto \( P(1,1) \), precisamos calcular as derivadas parciais em relação a \( x \) e \( y \). 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3x \] Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto \( P(1,1) \): - Para \( f_x \) em \( (1,1) \): \[ f_x(1,1) = 2(1)(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5 \] - Para \( f_y \) em \( (1,1) \): \[ f_y(1,1) = (1)^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4 \] Portanto, o gradiente \( \nabla f \) no ponto \( P(1,1) \) é: \[ \nabla f(1,1) = (f_x(1,1), f_y(1,1)) = (5, 4) \] Assim, o gradiente da função no ponto \( P(1,1) \) é \( (5, 4) \).