C2 Lista de Monitoria 14 - 2023_4

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Cálculo II - 2023-4 
Prática de Exercícios 14 - Derivada Direcional e Vetor Gradiente
Lista de Monitoria
1
Universidade Federal do Pará
38. Calcule as derivadas das funções na direção do vetor v e no ponto P .
a) f(x, y) = x2 + cos(xy), v = (1, 2) e P = (0, 1)
b) f(x, y) = x ln(x+ y), v = (1, 0) e P = (1, 1).
c) f(x, y, z) = x2 + y + ez, v = (0, 1, 0) e P = (1, 1, 0).
d) f(x, y, z) = cos(x) + sen(y)− ln(z), v = (0, 1/
√
2, 1/
√
2) e P = (1, 1, 2).
b) Solução Sabemos que a derivada de uma função f na direção do vetor v⃗ no ponto
∇
P (x0, y0) é dada por:
Dv⃗f(x0, y0) = ∇⃗f(x0,y0) · u⃗,
onde ⃗ f(x0, y0) é o gradiente da função avaliado no ponto P e u⃗ é o versor de v⃗.
Primeiramente, precisamos verificar se v⃗ é um vetor unitário:
|v⃗| =
√
12 + 02
=
√
1
= 1,
Calculando o gradiente no ponto P (1, 1):
∇⃗f(x0, y0) =
(
∂f
∂x
(1, 1),
∂f
∂y
(1, 1)
)
.
Calculando
∂f
∂x
(1, 1):
∂f
∂x
(1, 1) = ln(x+ y) + x
1
x+ 1
· 1
∂f
∂x
(1, 1) = ln(x+ y) +
x
x+ 1
∂f
∂x
(1, 1) = ln(1 + 1) +
1
1 + 1
= ln(2) +
1
2
2
Atividade de Monitoria 14Cálculo II - 2023-4
Calculando
∂f
∂y
(1, 1):
∂f
∂y
(1, 1) = x
1
x+ 1
· 1
∂f
∂x
(1, 1) =
x
x+ 1
∂f
∂x
(1, 1) =
1
1 + 1
=
1
2
∇⃗f(1, 1) · u⃗
Por fim, realizamos o produto escalar:
Dv⃗f(1, 1) =
Dv⃗f(1, 1) =
(
ln(2) +
1
2
,
1
2
)
· (1, 0)
Dv⃗f(1, 1) = ln(2) +
1
2
39. A temperatura em um ponto (x, y) de uma chapa de metal é dada por T (x, y) = 60/(1 +
x2 + y2), onde T é medido em °C e x, y em metros. Determine a taxa de variação de tempe-
ratura no ponto (2,1) na (a) direção x e (b) direção y.
Solução Determinamos a taxa de variação de temperatura no ponto (2, 1) na:
a) direção x
∂T
∂x
(x, y) =
−120 · x
(1 + x2 + y2)2
No ponto (2,1) temos:
∂T
∂x
(2, 1) =
−120 · 2
(1 + 22 + 12)2
∂T
∂x
(2, 1) =
−240
(6)2
=
−240
36
=
−60
9
.
3
Cálculo II - 2023-4 Atividade de Monitoria 14
Portanto,
∂T
∂x
(2, 1) =
−60
9
°C /m.
b) direção y
∂T
∂x
(x, y) =
−120 · y
(1 + x2 + y2)2
No ponto (2,1) temos:
∂T
∂x
(2, 1) =
−120 · 1
(1 + 22 + 12)2
∂T
∂x
(2, 1) =
−120
(6)2
=
−120
36
=
−30
9
Portanto,
∂T
∂x
(2, 1) =
−30
9
°C/m.
40. Calcule o gradiente das funções.
a) f(x, y, z) = x cos(yz)
b) f(x, y, z) =
x
x2 + y2 + z2
c) f(x, y, z) = xy ln(xyz)
d) f(x, y, z, w) = exp
(
x+ y
z − w
)
e) f(x, y, z, w) = 2xy2z3 +
1
2
wz2x2
f) f(x, y, z, w) =
sen(xz)
cos(yw)
41. Considere T (x, y) = 20 − x2 − y2 − z2 uma distribuição de temperatura em uma região
do espaço. Uma partícula localizada em A(0,−1, 0) precisa resfriar-se o mais rápido possível.
Qual é a taxa máxima de descrescimento da temperatura em A? .
42. Determine as equações para o plano tangente e para a reta normal ao gráfico das funções
a seguir nos respectivos pontos.
a) f(x, y) = x2 − y2 no ponto (1, 3)
b) f(x, y) =
x3
3
+
y2
2
− 2xy + 3x no ponto (3, 6)
c) f(x, y) = 3x2 − 8y2 no ponto (5, 7)
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Cálculo II - 2023-4 Atividade de Monitoria 14
3
2xy
no ponto (1/2, 3)d) f(x, y) =
e) f(x, y) =
3
√
17− x3
y
no ponto (2, 2)
f) f(x, y) = xex
2−y2 no ponto (2, 2)
c)
43. Determine o plano tangente e a reta normal à superfície no ponto P .
a) x2 + 4y2 + z3 = 1 e P = (1, 0, 0).
b) sen(xy) + sen(xz) + cos(yz) = 1 e P = (0, π, 0).
x2 + 4y2
x2 − 2x+ 1
= 10 e P = (2, 1).
d) x2 + y + e2 = ex
2+y2−1 − 2 e P = (−2, 2).
e) z = x2 + 2y − ln(z)− e e P = (1, e, e).
= 4,
44. Em cada item a seguir, mostre que as duas superfícies são ortogonais no ponto P .
a) x2ez+xyz2+esen(xyz) = 2 , ex−1+xey−1+(x+5)ez−x2−3xy−4xz+
5 sen(πy)
π
e P = (1, 1, 0).
b) xey + yez + zex = 0 , x3 + y5 + 2x2y3 − x+ y − ez − xyz = 0 e P = (0, 0, 0).
c) ex+ln(xz)−yz−e = 0 , 2ey cos(πxz)+y2z+2yz+2z ln(z)+2z = 0 e P = (1, 0, 1).
d) x2 + y3 − 3z = 5 , 4xy − x2 − 3y2 + 2z − 2x+ 2x cos(z) = 1 e P = (2, 1, 0).
e) ln(z) cos2(x) + ez sen2(y) = 0 , − cos(x) − x cos(y) + x ln(z) + y +
πz2
2
− π
2
= 1 e
P = (−π, π, 1).
45. Mostre que as superfícies z2 = x2 + y2 e x2 + y2 + z2 = r2 são ortogonais em todo ponto
de interseção.
46. Mostre que todo membro da família de superfícies sen2(cx + z) + cos2(cy + z) = 1
é ortogonal à superfície x3 − 3xy2 − zx + 2y3 + y + z2 = 1 em qualquer ponto da reta
(x, y, z) = (0, 0, 1) + t(1, 1, 0).
47. O paraboloide z = 6−x−x2−2y2 intercepta o plano x = 1 em uma parábola. Determine
equações paramétricas para a reta tangente a essa parábola no ponto (1, 2,−4). Qual é o plano
tangente ao gráfico dessa função nesse ponto?