Para resolver essa questão, precisamos primeiro entender a distribuição binomial e como calcular as probabilidades. Dado que \(X\) segue uma distribuição binomial \(B(2, p)\), temos: \[ P(X > 1) = P(X = 2) = \binom{2}{2} p^2 (1-p)^0 = p^2 \] Sabemos que \(P(X > 1) = \frac{5}{9}\), então: \[ p^2 = \frac{5}{9} \] Portanto, \(p = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\). Agora, para a variável aleatória \(Y\) que segue uma distribuição binomial \(B(4, p)\), queremos calcular \(P(Y = 1)\): \[ P(Y = 1) = \binom{4}{1} p^1 (1-p)^{4-1} = 4p(1-p)^3 \] Substituindo \(p = \frac{\sqrt{5}}{3}\): 1. Calcule \(1 - p\): \[ 1 - p = 1 - \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{3 - \sqrt{5}}{3} \] 2. Agora, substitua na fórmula: \[ P(Y = 1) = 4 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \left(\frac{3 - \sqrt{5}}{3}\right)^3 \] 3. Calcule \(\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{3}\right)^3\): \[ \left(\frac{3 - \sqrt{5}}{3}\right)^3 = \frac{(3 - \sqrt{5})^3}{27} \] 4. Finalmente, multiplique tudo: \[ P(Y = 1) = 4 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{(3 - \sqrt{5})^3}{27} \] Essa expressão pode ser simplificada, mas o resultado final depende do valor de \(p\) que já encontramos. Se você tiver as opções de resposta, posso ajudar a identificar qual delas corresponde ao resultado que encontramos.