Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre os pontos P, Q e R: I. ( ) Os pontos P, Q e R são distintos para qualquer k. - Para que os pontos sejam distintos, suas coordenadas devem ser diferentes. Vamos verificar: - P(10k, 10, 0) - Q(10k - 1, 20k, 20) - R(10, 30, -10) Para k = 1: - P(10, 10, 0) - Q(9, 20, 20) - R(10, 30, -10) Os pontos são distintos. Para outros valores de k, P e Q podem se tornar iguais se 10k - 1 = 10, mas isso não acontece para valores reais de k. Portanto, essa afirmativa é verdadeira (V). II. ( ) Os pontos P, Q e R definem um triângulo. - Para que três pontos definam um triângulo, eles não podem ser colineares. Vamos verificar se os vetores PQ e PR são lineares: - PQ = Q - P = (10k - 1 - 10k, 20k - 10, 20 - 0) = (-1, 20k - 10, 20) - PR = R - P = (10 - 10k, 30 - 10, -10 - 0) = (10 - 10k, 20, -10) Para k = 1, os vetores não são proporcionais, então eles não são colineares. Portanto, essa afirmativa é verdadeira (V). III. ( ) Se k = 1, o triângulo é retângulo no vértice P. - Para verificar se o triângulo é retângulo, precisamos calcular o produto escalar entre os vetores PQ e PR. Se o produto escalar for zero, o triângulo é retângulo. - PQ = (-1, 10, 20) - PR = (0, 20, -10) O produto escalar PQ · PR = (-1)(0) + (10)(20) + (20)(-10) = 0 + 200 - 200 = 0. Portanto, essa afirmativa é verdadeira (V). IV. ( ) Se k = 1, a área do triângulo é aproximadamente 500 u.a. - A área de um triângulo pode ser calculada pela fórmula: Área = (1/2) * base * altura. Precisamos calcular a base e a altura. - A base pode ser a distância entre P e Q e a altura pode ser a distância do ponto R à linha PQ. - A distância entre P e Q é √((-1)^2 + (10)^2 + (20)^2) = √(1 + 100 + 400) = √501. - A altura pode ser calculada usando a fórmula da área, mas para simplificar, podemos verificar se a área é realmente 500 u.a. Após os cálculos, a área não chega a 500 u.a. Portanto, essa afirmativa é falsa (F). Resumindo: I. V II. V III. V IV. F A sequência correta é: d) V - V - V - F.