Determine o valor da integral ∬S2ex2 dx dy S ={(x,y) ∈ R2 0 ≤x≤y≤1 e 0≤y≤x} , com

Para resolver a integral dupla \(\iint_{S} e^{x^2} \, dx \, dy\) onde \(S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 \leq x \leq y \leq 1\}\), precisamos primeiro entender a região de integração. A região \(S\) é definida por \(0 \leq x \leq y \leq 1\). Isso significa que \(y\) varia de \(x\) até \(1\) e \(x\) varia de \(0\) até \(1\). Podemos reescrever a integral como: \[ \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{x^2} \, dy \, dx \] Agora, vamos calcular a integral interna: \[ \int_{x}^{1} e^{x^2} \, dy = e^{x^2} (1 - x) \] Agora, substituímos isso na integral externa: \[ \int_{0}^{1} e^{x^2} (1 - x) \, dx \] Essa integral pode ser dividida em duas partes: \[ \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx - \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx \] A primeira parte, \(\int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx\), não tem uma solução elementar, mas pode ser avaliada numericamente. A segunda parte, \(\int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx\), pode ser resolvida usando a substituição \(u = x^2\), o que dá \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2\sqrt{u}}\). Os limites de integração mudam de \(0\) a \(1\) para \(0\) a \(1\). Assim, a integral se torna: \[ \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u} \, du = \frac{1}{2} (e - 1) \] Portanto, a integral original se torna: \[ \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx - \frac{1}{2} (e - 1) \] Assim, o valor da integral é: \[ \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx - \frac{1}{2} (e - 1) \] Para obter um valor numérico, você pode calcular \(\int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx\) usando métodos numéricos, como a regra do trapézio ou a regra de Simpson.