Para resolver a equação diferencial \( y' - y = 0 \) com a condição inicial \( y(0) = 1 \) pelo método de Euler, precisamos seguir os passos do método. A equação pode ser reescrita como \( y' = y \). O método de Euler é dado pela fórmula: \[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) \] onde \( f(x, y) = y \) e \( h \) é o tamanho do passo. Vamos calcular para \( x = 1 \) com \( h = 0,25 \) e \( h = 0,1 \). 1. Para \( h = 0,25 \): - \( x_0 = 0, y_0 = 1 \) - \( x_1 = 0,25 \): \( y_1 = y_0 + 0,25 \cdot y_0 = 1 + 0,25 \cdot 1 = 1,25 \) - \( x_2 = 0,5 \): \( y_2 = y_1 + 0,25 \cdot y_1 = 1,25 + 0,25 \cdot 1,25 = 1,25 + 0,3125 = 1,5625 \) - \( x_3 = 0,75 \): \( y_3 = y_2 + 0,25 \cdot y_2 = 1,5625 + 0,25 \cdot 1,5625 = 1,5625 + 0,390625 = 1,953125 \) - \( x_4 = 1 \): \( y_4 = y_3 + 0,25 \cdot y_3 = 1,953125 + 0,25 \cdot 1,953125 = 1,953125 + 0,48828125 = 2,44140625 \) 2. Para \( h = 0,1 \): - \( x_0 = 0, y_0 = 1 \) - \( x_1 = 0,1 \): \( y_1 = y_0 + 0,1 \cdot y_0 = 1 + 0,1 \cdot 1 = 1,1 \) - \( x_2 = 0,2 \): \( y_2 = y_1 + 0,1 \cdot y_1 = 1,1 + 0,1 \cdot 1,1 = 1,1 + 0,11 = 1,21 \) - \( x_3 = 0,3 \): \( y_3 = y_2 + 0,1 \cdot y_2 = 1,21 + 0,1 \cdot 1,21 = 1,21 + 0,121 = 1,331 \) - \( x_4 = 0,4 \): \( y_4 = y_3 + 0,1 \cdot y_3 = 1,331 + 0,1 \cdot 1,331 = 1,331 + 0,1331 = 1,4641 \) - \( x_5 = 0,5 \): \( y_5 = y_4 + 0,1 \cdot y_4 = 1,4641 + 0,1 \cdot 1,4641 = 1,4641 + 0,14641 = 1,61051 \) - Continuando esse processo até \( x = 1 \), você encontrará que \( y(1) \) se aproxima de \( 2,59374246 \). Agora, analisando as alternativas: A) Com \( h=0,25 \), temos \( y(1)=2,44140625 \) e com \( h=0,1 \), temos \( y(1)=2,357947691 \) B) Com \( h=0,25 \), temos \( y(1)=1,9553125 \) e com \( h=0,1 \), temos \( y(1)=2,59374246 \) C) Com \( h=0,25 \), temos \( y(1)=2,59374246 \) e com \( h=0,1 \), temos \( y(1)=2,357947691 \) D) Com \( h=0,25 \), temos \( y(1)=2,44140625 \) e com \( h=0,1 \), temos \( y(1)=2,59374246 \) A alternativa correta é a D: Com \( h=0,25 \), temos \( y(1)=2,44140625 \) e com \( h=0,1 \), temos \( y(1)=2,59374246 \).