Para determinar quantas relações existem em um conjunto com \( n \) elementos, precisamos entender que uma relação é um subconjunto do produto cartesiano do conjunto por ele mesmo. O produto cartesiano de um conjunto com \( n \) elementos resulta em \( n^2 \) pares ordenados. Como cada par ordenado pode estar ou não na relação, temos duas opções (incluir ou não incluir) para cada um dos \( n^2 \) pares. Portanto, o número total de relações possíveis é \( 2^{n^2} \). Agora, vamos analisar as alternativas: a) Existem \( 2n² \) relações - Incorreto, pois o número correto é \( 2^{n^2} \). b) Existem \( 1n \) relações - Incorreto, não faz sentido. c) Existem \( n² \) relações - Incorreto, isso é apenas o número de pares, não o número de relações. d) Existem \( 2(n+1)² \) relações - Incorreto, não representa o número total de relações. e) Existem \( n^{n+1} \) relações - Incorreto, não é a fórmula correta. Nenhuma das alternativas apresentadas está correta. O número correto de relações em um conjunto com \( n \) elementos é \( 2^{n^2} \).