Para calcular o erro relativo da aproximação em relação ao valor exato da integral, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular a integral exata: A integral da função \( f(x) = x^2 + 3 \) no intervalo [1, 3] é dada por: \[ \int_1^3 (x^2 + 3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 3x \right]_1^3 = \left( \frac{27}{3} + 9 \right) - \left( \frac{1}{3} + 3 \right) = 9 + 9 - \left( \frac{1}{3} + 3 \right) = 18 - \frac{10}{3} = \frac{54}{3} - \frac{10}{3} = \frac{44}{3} \] 2. Calcular a aproximação usando retângulos à direita: Para \( n = 10 \), o intervalo [1, 3] é dividido em 10 subintervalos de largura \( \Delta x = \frac{3-1}{10} = 0,2 \). As abscissas dos retângulos à direita são \( x_i = 1 + i \cdot 0,2 \) para \( i = 1, 2, \ldots, 10 \). A soma das áreas dos retângulos é: \[ S = \sum_{i=1}^{10} f(x_i) \cdot \Delta x \] Onde \( f(x_i) = (x_i)^2 + 3 \). Calculando: - \( x_1 = 1.2 \), \( f(1.2) = 1.44 + 3 = 4.44 \) - \( x_2 = 1.4 \), \( f(1.4) = 1.96 + 3 = 4.96 \) - \( x_3 = 1.6 \), \( f(1.6) = 2.56 + 3 = 5.56 \) - \( x_4 = 1.8 \), \( f(1.8) = 3.24 + 3 = 6.24 \) - \( x_5 = 2.0 \), \( f(2.0) = 4.0 + 3 = 7.0 \) - \( x_6 = 2.2 \), \( f(2.2) = 4.84 + 3 = 7.84 \) - \( x_7 = 2.4 \), \( f(2.4) = 5.76 + 3 = 8.76 \) - \( x_8 = 2.6 \), \( f(2.6) = 6.76 + 3 = 9.76 \) - \( x_9 = 2.8 \), \( f(2.8) = 7.84 + 3 = 10.84 \) - \( x_{10} = 3.0 \), \( f(3.0) = 9 + 3 = 12 \) Somando as áreas: \[ S = (4.44 + 4.96 + 5.56 + 6.24 + 7.0 + 7.84 + 8.76 + 9.76 + 10.84 + 12) \cdot 0.2 \] \[ S = 77.4 \cdot 0.2 = 15.48 \] 3. Calcular o erro relativo: O erro relativo é dado por: \[ \text{Erro Relativo} = \left| \frac{\text{Valor Exato} - \text{Valor Aproximado}}{\text{Valor Exato}} \right| \times 100\% \] Substituindo os valores: \[ \text{Erro Relativo} = \left| \frac{\frac{44}{3} - 15.48}{\frac{44}{3}} \right| \times 100\% \] Calculando: \[ \frac{44}{3} \approx 14.67 \quad \text{(aproximadamente)} \] \[ \text{Erro Relativo} \approx \left| \frac{14.67 - 15.48}{14.67} \right| \times 100\% \approx 5.55\% \] Portanto, a alternativa correta é: B) 5,55%.