Para resolver a integral da função \( f(x) = x^2 + 1 \) no intervalo \([1, 3]\) utilizando a regra dos retângulos ao centro com \( n = 10 \), vamos seguir os passos: 1. Determinar a largura dos retângulos: \[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 1}{10} = 0,2 \] 2. Calcular os pontos médios: Os pontos médios \( x_i \) para \( i = 0, 1, 2, \ldots, 9 \) são: \[ x_i = a + \left(i + 0,5\right) \Delta x = 1 + \left(i + 0,5\right) \cdot 0,2 \] Assim, os pontos médios são: - \( x_0 = 1,1 \) - \( x_1 = 1,3 \) - \( x_2 = 1,5 \) - \( x_3 = 1,7 \) - \( x_4 = 1,9 \) - \( x_5 = 2,1 \) - \( x_6 = 2,3 \) - \( x_7 = 2,5 \) - \( x_8 = 2,7 \) - \( x_9 = 2,9 \) 3. Calcular \( f(x_i) \) para cada ponto médio: \[ f(x) = x^2 + 1 \] - \( f(1,1) = 1,1^2 + 1 = 2,21 \) - \( f(1,3) = 1,3^2 + 1 = 2,69 \) - \( f(1,5) = 1,5^2 + 1 = 3,25 \) - \( f(1,7) = 1,7^2 + 1 = 3,89 \) - \( f(1,9) = 1,9^2 + 1 = 4,61 \) - \( f(2,1) = 2,1^2 + 1 = 5,41 \) - \( f(2,3) = 2,3^2 + 1 = 6,29 \) - \( f(2,5) = 2,5^2 + 1 = 7,25 \) - \( f(2,7) = 2,7^2 + 1 = 8,29 \) - \( f(2,9) = 2,9^2 + 1 = 9,41 \) 4. Calcular a soma das áreas dos retângulos: \[ \text{Área} \approx \Delta x \sum_{i=0}^{9} f(x_i) = 0,2 \cdot (2,21 + 2,69 + 3,25 + 3,89 + 4,61 + 5,41 + 6,29 + 7,25 + 8,29 + 9,41) \] \[ = 0,2 \cdot 53,10 = 10,62 \] 5. Comparar com as alternativas: - A) 9,56 - B) 10,02 - C) 10,66 - D) 10,99 O valor aproximado da integral é 10,62, que se aproxima mais da alternativa C) 10,66. Portanto, a resposta correta é C) 10,66.