Dado 𝑛 ∈ ℕ, considere a função 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑥𝑛 . Analise as derivadas 𝑓 subscript 1 prime space left parenthesis 𝑥 right parenthesis space comma sp

Question

Dado ? ∈ ℕ, considere a função ??(?) = ?? . Analise as derivadas ? subscript 1 prime space left parenthesis ? right parenthesis space comma space ? subscript 2 space prime prime left parenthesis ? right parenthesis space space comma space ? subscript 3 space prime prime prime left parenthesis ? right parenthesis space space e space ? subscript 4 space prime prime prime prime left parenthesis ? right parenthesise determine uma expressão para a derivada de ordem ? de ??(?), a qual é denotada por ??(?) (?): a. f subscript n superscript left parenthesis n right parenthesis end superscript left parenthesis x right parenthesis equals n b. f subscript n superscript left parenthesis n right parenthesis end superscript left parenthesis x right parenthesis equals 1 c. f subscript n superscript left parenthesis n right parenthesis end superscript left parenthesis x right parenthesis equals n x to the power of n minus 1 end exponent d. f subscript n superscript left parenthesis n right parenthesis end superscript left parenthesis x right parenthesis equals n factorial e. f subscript n superscript left parenthesis n right parenthesis end superscript left parenthesis x right parenthesis equals n factorial x

Ed · Answer

Para determinar a derivada de ordem $ n $ da função $ f_n(x) = x^n $, vamos analisar as derivadas sucessivas.

1. A primeira derivada $ f'_n(x) $ é dada por:
   $$
   f'_n(x) = n x^{n-1}
   $$

2. A segunda derivada $ f''_n(x) $ é:
   $$
   f''_n(x) = n(n-1)x^{n-2}
   $$

3. A terceira derivada $ f'''_n(x) $ é:
   $$
   f'''_n(x) = n(n-1)(n-2)x^{n-3}
   $$

4. Continuando esse processo, a $ n $-ésima derivada $ f^{(n)}_n(x) $ será:
   $$
   f^{(n)}_n(x) = n!
   $$

Portanto, a derivada de ordem $ n $ de $ f_n(x) = x^n $ é uma constante $ n! $ (fatorial de $ n $), que não depende de $ x $.

Analisando as alternativas:
a) $ f_n^{(n)}(x) = n $ - Incorreto.
b) $ f_n^{(n)}(x) = 1 $ - Incorreto.
c) $ f_n^{(n)}(x) = n x^{n-1} $ - Incorreto, é a primeira derivada.
d) $ f_n^{(n)}(x) = n! $ - Correto.
e) $ f_n^{(n)}(x) = n! x $ - Incorreto.

A alternativa correta é: **d) $ f_n^{(n)}(x) = n! $**.

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