Prova02

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1. Calcule K =
∫ 2π
1
∫ 2
0
r2 cos(3θ) dr dθ
• Integral Interna:∫ 2
0
r2 cos(3θ) dr =
(
r3
3
)
cos(3θ)
∣∣∣2
0
=
(
23
3
)
cos(3θ)−
(
03
3
)
cos(3θ) =
8
3
cos(3θ)
• Integral Externa:∫ 2π
1
8
3
cos(3θ) dθ =
8
3
∫ 2π
1
cos(3θ) dθ =
8
3
[
1
3
sin(3θ)
]2π
1
=
8
9
[sin(6π)− sin(3)] =
8
9
[0− sin(3)] = −8
9
sin(3)
Então, K = − 8
9 sin(3)
2. Determine a direção de crescimento máximo de f(x, y, z) = x3yz3−3e2x−
2e3y+5e7z no ponto (1, 3,−2). E calcule a taxa máxima de variação neste
mesmo ponto.
• Vetor Gradiente: A direção de crescimento máximo é dada pelo vetor
gradiente, ∇f =
(
∂f
∂x ,
∂f
∂y ,
∂f
∂z
)
– ∂f
∂x = 3x2yz3 − 6e2x
– ∂f
∂y = x3z3 − 6e3y
– ∂f
∂z = 3x3yz2 + 35e7z
• Avalie em (1, 3,−2):
– ∂f
∂x (1, 3,−2) = 3(1)2(3)(−2)3 − 6e2 = −72− 6e2
– ∂f
∂y (1, 3,−2) = (1)3(−2)3 − 6e9 = −8− 6e9
– ∂f
∂z (1, 3,−2) = 3(1)3(3)(−2)2 + 35e−14 = 36 + 35e−14
• Direção de Crescimento Máximo: ∇f(1, 3,−2) = (−72 − 6e2,−8 −
6e9, 36 + 35e−14)
• Taxa Máxima de Variação: A taxa máxima de variação é a magnitude
do vetor gradiente.
– ||∇f(1, 3,−2)|| =
√
(−72− 6e2)2 + (−8− 6e9)2 + (36 + 35e−14)2
Então, a direção de crescimento máximo é (−72−6e2,−8−6e9, 36+35e−14)
e a taxa máxima de variação é
√
(−72− 6e2)2 + (−8− 6e9)2 + (36 + 35e−14)2
3. Determine o valor da integral I =
∫ 1
−1
∫ 3
2
x2 sin(y) dx dy
• Integral Interna:∫ 3
2
x2 sin(y) dx =
(
x3
3
)
sin(y)
∣∣∣3
2
=
(
33
3
)
sin(y)−
(
23
3
)
sin(y) =
27
3
sin(y)−8
3
sin(y) =
19
3
sin(y)
1
• Integral Externa:∫ 1
−1
19
3
sin(y) dy =
19
3
∫ 1
−1
sin(y) dy =
19
3
[− cos(y)]
1
−1 =
19
3
[− cos(1)− (− cos(−1))] =
19
3
[− cos(1) + cos(1)] = 0
Então, I = 0 (já que cos(1) = cos(−1))
4. Calcule a integral de linha L =
∮
C
f(x, y) ds onde C é o segmento de reta
que liga os pontos A(3, 2) e B(2,−1) e f(x, y) = x3y2
• Parametrize o segmento de reta:
– x(t) = 3 + (2− 3)t = 3− t
– y(t) = 2 + (−1− 2)t = 2− 3t
– 0 ≤ t ≤ 1
• Calcule ds:
– dx
dt = −1
– dy
dt = −3
– ds =
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt =
√
(−1)2 + (−3)2 dt =
√
10 dt
• Substitua na integral:
– L =
∫ 1
0
(3− t)3(2− 3t)2
√
10 dt
• Esta integral é um pouco trabalhosa para calcular à mão. Vamos
denotá-la por enquanto. Você expandiria os polinômios e integraria
termo a termo.
Então, L =
√
10
∫ 1
0
(3− t)3(2− 3t)2 dt
5. Se F (x, y, z) = (P,Q,R) é um campo diferenciável em R3, então o diver-
gente de F é dado por divF = Px + Qy + Rz. Calcule o divergente de
F (x, y, z) = (y2e2xz, 3xe3yz, 7xyez
2+5z)
• Identifique P , Q, R:
– P = y2e2xz
– Q = 3xe3yz
– R = 7xyez
2+5z
• Calcule as derivadas parciais:
– Px = 2zy2e2xz
– Qy = 9xze3yz
– Rz = 7xy(2z + 5)ez
2+5z
• Calcule o divergente:
– divF = Px +Qy +Rz = 2zy2e2xz +9xze3yz +7xy(2z+5)ez
2+5z
Então, divF = 2zy2e2xz + 9xze3yz + 7xy(2z + 5)ez
2+5z
2