Supondo que as funções f e g são definidas e deriváveis em um mesmo intervalo I, então: left square bracket f left parenthesis x right parenthesis g left parenthesis x right parenthesis right square bracket apostrophe equals f apostrophe left parenthesis x right parenthesis g left parenthesis x right parenthesis plus f left parenthesis x right parenthesis g apostrophe left parenthesis x right parenthesis. Como f apostrophe left parenthesis x right parenthesis g left parenthesis x right parenthesis admite primitiva, então: integral f left parenthesis x right parenthesis g apostrophe left parenthesis x right parenthesis space d x equals f left parenthesis x right parenthesis g left parenthesis x right parenthesis minus integral f apostrophe left parenthesis x right parenthesis g left parenthesis x right parenthesis d x, que é a regra de integração por partes. Utilizando a integração por partes, assinale a alternativa que contém a correta solução para integral e to the power of x cos space x space d x. a. e to the power of x left parenthesis s e n x plus cos x right parenthesis plus c. b. 1 half e to the power of x left parenthesis s e n x plus cos x right parenthesis plus c. c. 2 e to the power of x left parenthesis s e n

Question

Supondo que as funções f e g são definidas e deriváveis em um mesmo intervalo I, então:   left square bracket f left parenthesis x right parenthesi...

Ed · Answer

Para resolver a integral $\int e^x \cos x \, dx$ utilizando a regra de integração por partes, vamos aplicar a técnica duas vezes.

1. **Escolha as funções**:
   - $u = e^x$ e $dv = \cos x \, dx$
   - Então, $du = e^x \, dx$ e $v = \sin x$

2. **Aplicando a fórmula de integração por partes**:
   $$
   \int u \, dv = uv - \int v \, du
   $$
   Substituindo:
   $$
   \int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - \int \sin x \, e^x \, dx
   $$

3. **Agora, aplicamos a integração por partes novamente na integral $\int e^x \sin x \, dx$**:
   - $u = e^x$ e $dv = \sin x \, dx$
   - Então, $du = e^x \, dx$ e $v = -\cos x$

4. **Aplicando novamente a fórmula**:
   $$
   \int e^x \sin x \, dx = -e^x \cos x - \int -\cos x \, e^x \, dx
   $$
   $$
   = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx
   $$

5. **Agora, substituímos de volta na primeira integral**:
   $$
   \int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - (-e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx)
   $$
   $$
   \int e^x \cos x \, dx + \int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x + e^x \cos x
   $$
   $$
   2 \int e^x \cos x \, dx = e^x (\sin x + \cos x)
   $$
   $$
   \int e^x \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C
   $$

Portanto, a alternativa correta é:
b) $\frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C$

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