Para encontrar o polinômio de maior grau possível que divide simultaneamente os polinômios \( P_1(x) \) e \( P_2(x) \), precisamos analisar os fatores de cada um deles. 1. Fatores de \( P_1(x) = x^3(x+1)^2(x^2-4) \): - \( x^3 \) - \( (x+1)^2 \) - \( (x^2-4) = (x-2)(x+2) \) Portanto, os fatores de \( P_1(x) \) são \( x^3, (x+1)^2, (x-2), (x+2) \). 2. Fatores de \( P_2(x) = x^4(x^2-1)^2(x+2)^2 \): - \( x^4 \) - \( (x^2-1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2 \) - \( (x+2)^2 \) Portanto, os fatores de \( P_2(x) \) são \( x^4, (x-1)^2, (x+1)^2, (x+2)^2 \). 3. Fatores comuns: - O fator \( (x+1)^2 \) é comum a ambos. - O fator \( (x+2) \) é comum a ambos, mas apenas uma vez em \( P_1(x) \) e duas vezes em \( P_2(x) \). - O fator \( x \) é comum a ambos, mas \( P_1(x) \) tem \( x^3 \) e \( P_2(x) \) tem \( x^4 \), então podemos usar \( x^3 \). 4. Montando o polinômio: - O polinômio que divide ambos deve incluir \( x^3 \), \( (x+1)^2 \), \( (x+2) \) e \( (x-1)^2 \) (apenas uma vez, pois é o máximo que pode ser incluído). Assim, o polinômio de maior grau que divide ambos é: \[ P(x) = x^3 (x+1)^2 (x-1)^2 (x+2) \] Agora, analisando as alternativas: A) \( P(x) = x^3 (x+1)^2 (x+2) \) - Não inclui \( (x-1)^2 \). B) \( P(x) = x^3 (x-1)^2 (x+2) \) - Não inclui \( (x+1)^2 \). C) \( P(x) = x^4 (x^2-1)^2 (x+2)^2 \) - Não é o polinômio de maior grau. D) \( P(x) = x^3 (x^2-1)^2 (x-1)(x+2)^2 \) - Não é o polinômio de maior grau. E) \( P(x) = x (x-1)^2 (x+4) \) - Não é o polinômio de maior grau. Nenhuma das alternativas parece corresponder exatamente ao polinômio que encontramos. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há algum erro na formulação da pergunta. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!