Para encontrar o polinômio de maior grau possível que divide simultaneamente os polinômios \( P_1(x) \) e \( P_2(x) \), precisamos analisar os fatores de cada um deles. 1. Fatores de \( P_1(x) = x^3(x+1)^2(x^2-4) \): - \( x^3 \) - \( (x+1)^2 \) - \( (x^2-4) = (x-2)(x+2) \) Portanto, os fatores de \( P_1(x) \) são: \( x^3, (x+1)^2, (x-2), (x+2) \). 2. Fatores de \( P_2(x) = x^4(x^2-1)^2(x+2)^2 \): - \( x^4 \) - \( (x^2-1) = (x-1)(x+1) \) - \( (x+2)^2 \) Portanto, os fatores de \( P_2(x) \) são: \( x^4, (x-1), (x+1), (x+2)^2 \). 3. Fatores comuns: - O fator \( (x+1) \) aparece em ambos, mas em \( P_1(x) \) está ao quadrado e em \( P_2(x) \) está ao primeiro grau, então o máximo que podemos pegar é \( (x+1) \). - O fator \( (x+2) \) aparece em ambos, mas em \( P_1(x) \) está ao primeiro grau e em \( P_2(x) \) está ao quadrado, então o máximo que podemos pegar é \( (x+2) \). - O fator \( x \) aparece em \( P_1(x) \) como \( x^3 \) e em \( P_2(x) \) como \( x^4 \), então o máximo que podemos pegar é \( x^3 \). - O fator \( (x-1) \) aparece apenas em \( P_2(x) \) e o fator \( (x-2) \) aparece apenas em \( P_1(x) \). 4. Montando o polinômio: O polinômio que divide ambos é: \[ x^3 (x+1) (x+2) \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( P(x) = x^3(x+1)^2(x+2) \) - Não é correto, pois tem \( (x+1)^2 \). B) \( P(x) = x^3(x-1)^2(x+2) \) - Não é correto, pois não tem \( (x+1) \). C) \( P(x) = x^4(x^2-1)^2(x+2)^2 \) - Não é correto, pois não é o polinômio de maior grau que divide ambos. D) \( P(x) = x^3(x^2-1)^2(x-1)(x+2)^2 \) - Não é correto, pois não é o polinômio de maior grau que divide ambos. E) \( P(x) = x(x-1)^2(x+4) \) - Não é correto, pois não é o polinômio de maior grau que divide ambos. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao polinômio que encontramos. Portanto, parece que a questão não possui uma resposta correta entre as opções dadas. Você pode verificar se há algum erro nas opções ou se a questão foi transcrita corretamente.