Para responder a essa questão, precisamos entender a diferença entre números racionais e irracionais em relação à representação decimal. - Números racionais são aqueles que podem ser expressos como uma fração \( \frac{a}{b} \), onde \( a \) e \( b \) são inteiros e \( b \neq 0 \). Na forma decimal, eles podem ser representados como dízimas finitas ou dízimas periódicas. - Números irracionais, por outro lado, não podem ser expressos como uma fração e sua representação decimal é infinita e não periódica. Dado que a questão afirma que o número real \( χ \) só pode ser representado na forma decimal com infinitas casas decimais, isso indica que \( χ \) não pode ser um número racional, pois números racionais têm representações decimais que são finitas ou periódicas. Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( χ \) é racional - Incorreto, pois números racionais não têm infinitas casas decimais não periódicas. b) \( χ \) é irracional se for uma dízima não periódica - Isso é verdade, mas não é a única condição para \( χ \). c) \( χ \) é irracional - Correto, pois a afirmação inicial indica que \( χ \) tem uma representação decimal infinita. d) \( χ \) é irracional se for uma dízima periódica - Incorreto, pois dízimas periódicas são racionais. e) \( χ \) é racional se for uma dízima não periódica - Incorreto, pois dízimas não periódicas são irracionais. Portanto, a alternativa correta é: c) \( χ \) é irracional.