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A resolução de integrais requer a aplicação meticulosa de métodos analíticos e estratégias de simplificação, visando encontrar soluções que capturem com precisão os aspectos fundamentais das funções em estudo, sendo uma habilidade essencial em diversas áreas da matemática e ciências aplicadas.
Portanto, utilizando das técnicas e métodos desenvolvidos no estudo das integrais, assinale entre as opções a seguir, qual delas apresenta a primitiva da função f(x) = 4xex².
A 4ex² + c.
B 8xex² + c.
C 4xex² + c.
D 2ex² + c.
E 2xex² + c.

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Avaliação Final (Objetiva) - Individual - Cálculo Diferencial e Integral II (MAD103)

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Para encontrar a primitiva da função $ f(x) = 4x e^{x^2} $, podemos usar o método de integração por partes ou uma substituição adequada. Uma boa escolha de substituição aqui é $ u = x^2 $, o que implica que $ du = 2x \, dx $ ou $ dx = \frac{du}{2x} $. Assim, a função se transforma em: \[ f(x) = 4x e^{u} \] Substituindo $ dx $: \[ \int 4x e^{x^2} \, dx = \int 4 e^{u} \frac{du}{2} = 2 \int e^{u} \, du = 2 e^{u} + C = 2 e^{x^2} + C \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) $ 4e^{x^2} + c $ - Incorreto. B) $ 8x e^{x^2} + c $ - Incorreto. C) $ 4x e^{x^2} + c $ - Incorreto. D) $ 2e^{x^2} + c $ - Correto. E) $ 2x e^{x^2} + c $ - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: D) 2e^{x^2} + c.

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As funções homogêneas são aquelas que possuem uma propriedade especial, na qual a alteração simultânea das variáveis independentes e dependentes resulta em uma transformação proporcional, mantendo a forma geral da função, ou seja, uma função que satisfaz a relação f(λx, λy) = λk · f(x, y).
Considerando a função f(x, y) = x² + 3xy – 4y², avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. A função f é uma função homogênea de grau 2.
II. Testando a definição apresentada, podemos verificar que f(λx, λy) = λ2 · f(x, y).
A As asserções I e II são falsas.
B A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
C As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
D A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
E As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.

Para resolver essa questão, considere que o valor médio de uma função, denominado Vmf, em um dado intervalo [a, b], a qual seja diferenciável neste intervalo, é dado por:
Seja uma empresa que produz e vende kits de jardinagem urbana. Seus clientes recebem um kit completo com vasos, terra, sementes e ferramentas para cultivar ervas, vegetais e flores em pequenos espaços, como varandas e jardins verticais. O valor do custo de produção para uma certa quantidade de kits (x), é definido pela função C(x) = 0,08x³ - 0,9x² + 1,4x + 5. Assim, o valor médio do custo de produção, em de reais para um intervalo de 20 a 30 kits é:
A R$ 770,00.
B R$ 810,00.
C R$ 630,00.
D R$ 540,00.
E R$ 530,00.

Quando uma região plana é girada em torno de uma reta no plano, ela dá origem a uma figura tridimensional conhecida como sólido de revolução. Esse processo, chamado de revolução, transforma a região plana em um objeto sólido com características específicas. A reta em torno da qual a região gira é denominada eixo de rotação. Este conceito é fundamental no estudo do cálculo integral, pois permite calcular volumes de sólidos complexos através da integração de funções que descrevem as regiões planas envolvidas.
Com relação à representação do volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, limitado pela curva y = x², pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 5, selecione a alternativa correta que apresenta esse resultado:
A V = 25π u.v.
B V = 625π u.v.
C V = 125π u.v.
D V = 125π/3 u.v.
E V = 5π u.v.

Os conceitos de Geometria ensinados no Ensino Médio não possibilitam o cálculo de áreas de regiões limitadas por curvas arbitrárias. Para resolver esse tipo de problema, é necessário utilizar o conceito de integral definida, comumente estudado nas disciplinas de Cálculo. Um exemplo prático disso é o cálculo da área de uma região no plano delimitada por curvas.
Considere as curvas definidas por 2y = x e y = x². Indique a alternativa que apresenta a área delimitada por essas duas curvas.
A 7/12.
B 5/48.
C 1/12.
D 1/48.
E 5/7.

Frações parciais são uma técnica fundamental no cálculo integral, utilizada para decompor uma fração em uma soma de frações mais simples. Esse método é especialmente útil para integrar funções racionais do tipo f(x) = p(x)/q(x), tornando-as mais fáceis de serem manipuladas e integradas. Através da decomposição em frações parciais, é possível resolver integrais que seriam difíceis ou impossíveis de serem calculadas de outra forma.
Considerando as informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Considerando o polinômio q(x) = x · (x² + 4)³, este será decomposto em quatro partes.
II. O polinômio q(x) apresenta um fator linear e um fator quadrático irredutível que se repete por três vezes.
A A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
B As asserções I e II são falsas.
C As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
D As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
E A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.

A fórmula do Wind Chill, ou índice de resfriamento pelo vento, é uma medida da sensação térmica provocada pela combinação da temperatura do ar e da velocidade do vento. Esta fórmula é usada para estimar como o frio do vento afeta a percepção de temperatura do corpo humano. Simplificaremos essa fórmula para W(t, v) = 13,12 + 0,63⋅t – v0,16·(11,6 - 0,4t), onde:
Assinale a alternativa que apresenta a sensação térmica quando a temperatura do ar está em 30°C e com vento de 28 km/h:
A 31,9 °C.
B 32,2 °C.
C 32,7 °C.
D 32,5 °C.
E 33,1 °C.

Antes de trabalhar com funções dadas, é muito importante verificarmos os pontos onde a função admite definição. Esses pontos são chamados pontos do domínio da função. Ao trabalhar com funções de várias variáveis, muitas vezes o domínio da função é dado por uma relação entre estas variáveis.
Baseado nisto, dada a função a seguir, sobre qual é o seu conjunto domínio condizente, analise as opções a seguir:
A Df = {(x, y) ∈ R, x > y}
B Df = {(x, y) ∈ R, x > 2y}
C Df = {(x, y) ∈ R, x < 2y}
D Df = {(x, y) ∈ R, x ≤ 2y}
E Df = {(x, y) ∈ R, x < y}

Em situações em que uma função possui partes de sua representação gráfica acima e abaixo do eixo das abscissas, surge um conceito crucial denominado "saldo de área". Este conceito implica que ao calcular a integral de tal função em um intervalo de integração, o resultado não apenas representa a área total sob o gráfico, mas também considera a diferença entre as áreas acima e abaixo do eixo das abscissas.
Desta forma, analise a representação gráfica de uma função f e sendo a, b, c e d, as áreas positivas desta função nos respectivos intervalos (-3, -1), (-1, 2), (2, 4) e (4, 6):
I. A integral definida de -3 até 6 desta função, apresentará como resultado, a soma de a + b + c + d.
II. Ao calcular a área da curva no intervalo de -3 até 6, devemos separar o cálculo em quatro partes, respeitando as partes acima e abaixo do eixo das abscissas.
A As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
B As asserções I e II são falsas.
C A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
D As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
E A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.

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