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Considere o cálculo da derivada da equação $f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)$. Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA:
A $2 \mathrm{x} \cdot \cos \left(\mathrm{x}^{2}\right)$.
B $\quad \mathrm{x} \cdot \operatorname{sen}\left(\mathrm{x}^{2}\right)$.
C $\mathrm{x} \cdot \cos \left(\mathrm{x}^{2}\right)$.
D $2 \mathrm{x} \cdot \operatorname{sen}\left(\mathrm{x}^{2}\right)$.
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CuriosidadesGerais

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Avaliação II - Individual - Calculo integral
4 pág.

Avaliação II - Individual - Calculo integral

UNOPAR

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há 23 horas

Para calcular a derivada da função \( f(x) = \sin(x^2) \), utilizamos a regra da cadeia. A derivada de \( \sin(u) \) em relação a \( u \) é \( \cos(u) \), e a derivada de \( u = x^2 \) em relação a \( x \) é \( 2x \). Assim, aplicando a regra da cadeia, temos: \[ f'(x) = \cos(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cdot \cos(x^2). \] Agora, analisando as alternativas: A) \( 2x \cdot \cos(x^2) \) - Correta. B) \( x \cdot \sin(x^2) \) - Incorreta. C) \( x \cdot \cos(x^2) \) - Incorreta. D) \( 2x \cdot \sin(x^2) \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \( 2x \cdot \cos(x^2) \).

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Além de todos os conceitos que podem ser estudados a respeito do cálculo diferencial, podemos resumir o conceito de derivada como sendo a taxa de variação instantânea de uma grandeza com relação a outra, como, por exemplo, a variação da posição com relação ao tempo.Baseado nisto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o valor da derivada da função $f(x)=3 x^{-2}$, no ponto $x$ $=-1$.
(A) 6 .
(B) -6 .
C -3 .
D 3.

Calcule a derivada de $f(x)=7 x^{5}+7$ de acordo com suas regras e propriedades de derivação. Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA:
(A) $f^{\prime}(x)=35 x^{4}$.
B $\quad f^{\prime}(x)=35 x^{5}$.
C $\quad f^{\prime}(x)=35 x$.
D $\quad f^{\prime}(x)=35 x^{3}$.

Calcule a derivada de $\mathrm{f}(\mathrm{x})=7 \mathrm{x}^{3}+77$ de acordo com suas regras e propriedades de derivação. Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA:
A $\quad \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=14 \mathrm{x}^{2}$.
B $\quad \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=28 \mathrm{x}^{2}$.
C $\quad \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=7 \mathrm{x}^{2}$.
D $\quad \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=21 \mathrm{x}^{2}$.

A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora. Para determinar ela, podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar, ou aplicar o Teorema da Derivada da Função Inversa, que em uma de suas partes, diz que $g^{\prime}(y)=1 / f^{\prime}(x)$ (a derivada da função inversa aplicada em um ponto y equivale ao inverso da derivada da função aplicada no $x$ correspondente ao y). Este teorema pode ser aplicado de uma maneira muito interessante quando temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de deduzir. O procedimento é simples: basta encontrar para um ponto y a sua correspondência na função (caso não seja dada), determinar a derivada da função, aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado. Senso assim, determine a derivada da função inversa $f(x)=x^{3}-x^{2}-1$ no ponto $(-1,-3)$ e assinale a alternativa CORRETA:
a $g^{\prime}(4)=1 / 3$.
(B) $g^{\prime}(4)=1 / 4$.
(C) $g^{\prime}(4)=1 / 5$.
(D) $g^{\prime}(4)=1 / 2$.

Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta de duas funções. Sendo assim, considerando o uso adequado da regra da cadeia, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
A $F-F-F-V$.
B $F-F-V-F$.
C $\quad \mathrm{V}-\mathrm{V}-\mathrm{V}-\mathrm{F}$.
D $\mathrm{V}-\mathrm{F}-\mathrm{F}-\mathrm{V}$.

A derivada de uma função, em seu conceito mais teórico, é dada pela razão entre a variação da função ao longo da variável dependente, quando a variável independente sofre uma pequena variação. Desta forma, a importância da derivada de uma função reside na capacidade de fornecer informações cruciais sobre o seu comportamento local e global.Assim sendo, seja a função $f(t)=\operatorname{sen}(2 t)+\cos \left(t^{3}\right)$, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a sua derivada:
A $\quad f^{\prime}(t)=-\cos (2 t)+\operatorname{sen}\left(t^{3}\right)$
B $\quad f^{\prime}(t)=2 \cdot \cos (2 t)-3 t^{2} \cdot \operatorname{sen}\left(t^{3}\right)$
C $\quad f^{\prime}(t)=-2 \cdot \cos (2 t)+3 t^{2} \cdot \operatorname{sen}\left(t^{3}\right)$
D $\quad f^{\prime}(t)=\cos (2 t)-\operatorname{sen}\left(t^{3}\right)$

Sabemos que a função seno tem como domínio todos os números reais e sua imagem é o intervalo de $[-1,1]$. Assim, podemos considerar $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{x})$, definida $\mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow[-1,1]$. Defina a derivada da função $\operatorname{sen}(\mathrm{x})$.Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA:
A $\operatorname{tang}(\mathrm{x})$.
B 0 , para todos os números reais.
C $\cos (\mathrm{x})$.
D $\operatorname{sen}(\mathrm{x})$.

Considere que $f(x)=x^{2}$ e $g(x)=(x+1)$. Encontre a derivada da função composta $f(g(1))$ :
A 0.
B 4.
C 2.
D 3.

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