Considere um sistema de equação diferencial homogêneo e com coeficientes constantes, da forma x’ = Ax , em que A é uma matriz n × n. Analise os itens

Question

Considere um sistema de equação diferencial homogêneo e com coeficientes constantes, da forma x’ = Ax , em que A é uma matriz n × n. Analise os itens que seguem. I – Se o sistema possui autovalores reais e distintos, então a solução do sistema será da forma bold x equals c subscript 1 xi to the power of left parenthesis 1 right parenthesis end exponent e to the power of r subscript 1 t end exponent plus space horizontal ellipsis plus c subscript n xi to the power of left parenthesis n right parenthesis end exponent e to the power of r subscript n t end exponent, em que ξNão são os autovetores da matriz A e rn os autovalores. II – Se o sistema possui autovalores reais e repetidos, então a solução do sistema será da forma bold x equals c subscript 1 t xi to the power of left parenthesis 1 right parenthesis end exponent e to the power of r subscript 1 t end exponent plus space horizontal ellipsis plus c subscript n t to the power of n xi to the power of left parenthesis n right parenthesis end exponent e to the power of r subscript n t end exponent, em que ξNão são os autovetores da matriz A e rn os autovalores. III - Se o sistema possui autovalores complexos e conjugados, então a solução do sistema será da forma bold x equals c subscript 1 xi to the power of left parenthesis 1 right parenthesis end exponent e to the power of r subscript 1 t end exponent plus space horizontal ellipsis plus c subscript n xi to the power of left parenthesis n right parenthesis end exponent e to the power of r subscript n t end exponent, em que ξNão são os autovetores da matriz A e rn os autovalores. Assinale a alternativa correta. Escolha uma: a. Apenas os itens I e II estão corretos. b. Apenas o item I está correto. c. Apenas o item II está correto. d. Os itens I, II e III estão corretos. e. Apenas o item III está correto.

Ed · Answer

Vamos analisar cada um dos itens:

I – Se o sistema possui autovalores reais e distintos, então a solução do sistema será da forma $ \mathbf{x} = c_1 \xi^{(1)} e^{r_1 t} + \ldots + c_n \xi^{(n)} e^{r_n t} $, em que $ \xi $ são os autovetores da matriz A e $ r_n $ são os autovalores. Essa afirmativa está correta, pois a solução para autovalores reais e distintos é dada por essa forma.

II – Se o sistema possui autovalores reais e repetidos, então a solução do sistema será da forma $ \mathbf{x} = c_1 t \xi^{(1)} e^{r_1 t} + \ldots + c_n t^{n} \xi^{(n)} e^{r_n t} $, em que $ \xi $ são os autovetores da matriz A e $ r_n $ são os autovalores. Essa afirmativa também está correta, pois a forma da solução para autovalores reais repetidos inclui um fator de $ t $ para cada repetição do autovalor.

III - Se o sistema possui autovalores complexos e conjugados, então a solução do sistema será da forma $ \mathbf{x} = c_1 \xi^{(1)} e^{r_1 t} + \ldots + c_n \xi^{(n)} e^{r_n t} $, em que $ \xi $ são os autovetores da matriz A e $ r_n $ são os autovalores. Essa afirmativa está incorreta. Para autovalores complexos, a solução é expressa em termos de funções senoidais (seno e cosseno) e não na forma apresentada.

Com base na análise:

- O item I está correto.
- O item II está correto.
- O item III está incorreto.

Portanto, a alternativa correta que contém todos os itens verdadeiros é: a) Apenas os itens I e II estão corretos.

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