Para calcular a integral da função \( f(x) = x^2 + 3 \) no intervalo \([1, 3]\) usando a regra dos retângulos à direita com \( n = 10 \), siga os passos abaixo: 1. Determine a largura do intervalo (\( \Delta x \)): \[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 1}{10} = 0,2 \] 2. Calcule os pontos de amostragem: Os pontos de amostragem para os retângulos à direita são: \[ x_i = a + i \cdot \Delta x \quad \text{para } i = 1, 2, \ldots, 10 \] Portanto, os pontos são: - \( x_1 = 1 + 1 \cdot 0,2 = 1,2 \) - \( x_2 = 1 + 2 \cdot 0,2 = 1,4 \) - \( x_3 = 1 + 3 \cdot 0,2 = 1,6 \) - \( x_4 = 1 + 4 \cdot 0,2 = 1,8 \) - \( x_5 = 1 + 5 \cdot 0,2 = 2,0 \) - \( x_6 = 1 + 6 \cdot 0,2 = 2,2 \) - \( x_7 = 1 + 7 \cdot 0,2 = 2,4 \) - \( x_8 = 1 + 8 \cdot 0,2 = 2,6 \) - \( x_9 = 1 + 9 \cdot 0,2 = 2,8 \) - \( x_{10} = 1 + 10 \cdot 0,2 = 3,0 \) 3. Calcule a soma das áreas dos retângulos: \[ \text{Área} \approx \sum_{i=1}^{10} f(x_i) \cdot \Delta x \] Calculando \( f(x_i) \): - \( f(1,2) = (1,2)^2 + 3 = 4,44 \) - \( f(1,4) = (1,4)^2 + 3 = 4,96 \) - \( f(1,6) = (1,6)^2 + 3 = 5,56 \) - \( f(1,8) = (1,8)^2 + 3 = 6,24 \) - \( f(2,0) = (2,0)^2 + 3 = 7,0 \) - \( f(2,2) = (2,2)^2 + 3 = 7,84 \) - \( f(2,4) = (2,4)^2 + 3 = 8,76 \) - \( f(2,6) = (2,6)^2 + 3 = 9,76 \) - \( f(2,8) = (2,8)^2 + 3 = 10,84 \) - \( f(3,0) = (3,0)^2 + 3 = 12,0 \) Agora, somando: \[ \text{Área} \approx (4,44 + 4,96 + 5,56 + 6,24 + 7,0 + 7,84 + 8,76 + 9,76 + 10,84 + 12,0) \cdot 0,2 \] \[ \text{Área} \approx 67,4 \cdot 0,2 = 13,48 \] 4. Calcule o erro relativo: O valor exato da integral é \( \frac{44}{3} \approx 14,67 \). O erro absoluto é: \[ E = \left| \text{Valor exato} - \text{Valor aproximado} \right| = \left| \frac{44}{3} - 13,48 \right| \approx 1,19 \] O erro relativo é: \[ \text{Erro relativo} = \frac{E}{\text{Valor exato}} = \frac{1,19}{\frac{44}{3}} \approx 0,081 \] Portanto, a aproximação da integral usando retângulos à direita é \( 13,48 \) e o erro relativo é aproximadamente \( 0,081 \) ou \( 8,1\% \).