O espaço vetorial Rn

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O espaço vetorial Rn: base e dimensão
Um vetor constitui um ente que necessita definir um módulo, uma direção e um sentido. Sua forma de representação deve dar-se em função de um referencial, que, na maioria dos casos, constitui o referencial cartesiano, definido pelos eixos x, y e z. Essa abordagem é muito utilizada quando se necessita representar uma grandeza em função de um vetor. No contexto da matemática, utiliza-se a álgebra linear para trabalhar com vetores e, para esses casos, define-se um espaço vetorial, que pode ter subespaços vetoriais, com uma base e dimensão também definidas (Nicholson, 2014; Corrêa, 2006; Anton; Rorres, 2012).
A fim de discutir conceitos como as características da base e da dimensão de um subespaço, considere um espaço vetorial definido em R³. Para esse caso, analise as seguintes afirmações:
1. Todo subconjunto de uma base é dito linearmente independente.
2. Um conjunto de quatro vetores definido em  R³ pode ser uma base.
3. Um conjunto de três vetores linearmente independentes em  R³ sempre forma uma base.
Com base nessas afirmações, assinale a alternativa que contém a resposta correta.
Resposta: Somente a III é verdadeira.
As combinações lineares são descritas como uma ferramenta poderosa da matemática quando se necessita trabalhar com o conceito de vetorial. Em uma combinação linear, tomam-se vetores de um espaço vetorial fazendo-os combinarem-se de modo a apresentar um resultado que contemple a contento a resposta buscada para um problema. Dentro do contexto de combinação linear, deve-se considerar as condições do espaço vetorial ao qual os vetores pertencem. Desse modo, busca-se estudar as características de um espaço vetorial em função de sua base e dimensão (Nicholson, 2014; Corrêa, 2006).
Apresentando-se  D como um subespaço do espaço vetorial  R4, tem-se que  D é gerado pelos seguintes vetores:
 e  d₁ = (2, 4, 6, 8), d₂ = (4, 8, 12, 16) e d3= (1, 0, 1, 0)
Para este caso, assinale a alternativa que mostra corretamente qual será a dimensão do subespaço D .
Resposta:  A dimensão de  D  é 2.
Nos domínios da matemática, o termo "dimensão" é definido como um espaço criado a partir da relação entre direções, podendo ser unidimensional, bidimensional, tridimensional ou pluridimensional. Na álgebra linear, utiliza-se esse termo para definir o número de vetores de um espaço vetorial que estão contidos na base desse espaço. Por exemplo: a base canônica de  R elevado a n possui  n vetores, de modo que se pode usar a seguinte definição:  dim (R elevado a n) = n(Nicholson, 2014).
Explicado de outra maneira, tem-se que qualquer conjunto de  vetores linearmente independentes no espaço dado () (R elevado a n) formarão uma base. Aqui, também se pode afirmar que qualquer conjunto com mais de  n vetores será linearmente dependente (Nicholson, 2014; Corrêa, 2006; Anton, 2007; Anton; Rorres, 2012).
Para calcular a dimensão de um espaço vetorial, analise o seguinte caso:
Um espaço vetorial é descrito como  R4; e T, um subespaço deste. Nesse contexto,  Tfoi gerado pelos seguintes vetores:  u1T = (1, 2, 3, 4)  e . u₂ = (2, 4, 6, 8). 
Com base nas informações descritas e nos seus conhecimentos sobre base e dimensão de espaços vetoriais, assinale a alternativa que mostra corretamente qual seria a dimensão do subespaço T.
Resposta: O subespaço  Tpossui dimensão igual a 1.
Uma base para um espaço vetorial constitui um conjunto de vetores que geram tal espaço. A condição de existência desse espaço vetorial é que os vetores que formam a base sejam linearmente independentes (Nicholson, 2014). Nesses casos, geralmente toma-se o espaço vetorial como um conjunto do tipo R elevado a n e a base que o forma é descrita como base canônica. Uma base dessa natureza apresenta cada vetor de sua composição em função de um único 1 na i-ésima posição e todas as demais são zero (Nicholson, 2014; Corrêa, 2006; Anton, 2007; Anton; Rorres, 2012).
Para determinar a base de um espaço vetorial qualquer, descrito no R³, analise e assinale a alternativa que contempla a relação correta.
Resposta: Formam a base de um espaço vetorial a seguinte coleção de vetores: . {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. 
Define-se um subespaço vetorial como uma região em que existe um conjunto de vetores. Um exemplo de espaço vetorial é o R elevado a n, sendo  R o conjunto dos números reais e  n o número de dimensões do espaço associado (Nicholson, 2014; Corrêa, 2006). Já um subespaço vetorial trata-se de um espaço menor dentro de outro espaço. Esse é o princípio de criação do que se intitula base, isto é, um subespaço vetorial dentro de um espaço (Nicholson, 2014).
Considerando-se os conceitos de espaço, subespaço, vetores, base e dimensão, analise o caso a seguir:
Seja o espaço vetorial K = R³, que contém o subconjunto T, de modo que:
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Então, verifique se  T se trata de um subespaço vetorial de  K e assinale a alternativa correta.
Resposta:  T é subconjunto de  K e satisfaz as três regras: do vetor nulo, da soma e da multiplicação por escalar.