Para encontrar a componente normal da aceleração no ponto (x, y, z) = (2, 4, 6), precisamos seguir alguns passos: 1. Encontrar o valor de \( u \): Precisamos determinar o valor de \( u \) que leva ao ponto (2, 4, 6) usando as equações paramétricas dadas. - Para \( x = 1 + u^2 \): \[ 2 = 1 + u^2 \implies u^2 = 1 \implies u = 1 \quad (u \geq 0) \] - Para \( y = u^3 + 3 \): \[ y = 1^3 + 3 = 4 \quad \text{(correto)} \] - Para \( z = u^2 + 5 \): \[ z = 1^2 + 5 = 6 \quad \text{(correto)} \] Portanto, \( u = 1 \) é o valor correto. 2. Encontrar a velocidade e a aceleração: Precisamos calcular a velocidade \(\vec{v}(u)\) e a aceleração \(\vec{a}(u)\). - A velocidade é dada pela derivada da função posição: \[ \vec{v}(u) = \frac{d\vec{F}}{du} = \left( \frac{dx}{du}, \frac{dy}{du}, \frac{dz}{du} \right) = \left( 2u, 3u^2, 2u \right) \] Para \( u = 1 \): \[ \vec{v}(1) = (2 \cdot 1, 3 \cdot 1^2, 2 \cdot 1) = (2, 3, 2) \] - A aceleração é dada pela derivada da velocidade: \[ \vec{a}(u) = \frac{d\vec{v}}{du} = \left( \frac{d(2u)}{du}, \frac{d(3u^2)}{du}, \frac{d(2u)}{du} \right) = (2, 6u, 2) \] Para \( u = 1 \): \[ \vec{a}(1) = (2, 6 \cdot 1, 2) = (2, 6, 2) \] 3. Encontrar a componente normal da aceleração: A componente normal da aceleração é dada pela fórmula: \[ a_n = \sqrt{|\vec{a}|^2 - |\vec{a}_t|^2} \] onde \(\vec{a}_t\) é a componente tangencial da aceleração, que pode ser encontrada usando a projeção da aceleração na direção da velocidade. Primeiro, calculamos o módulo da velocidade: \[ |\vec{v}(1)| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17} \] E o módulo da aceleração: \[ |\vec{a}(1)| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 36 + 4} = \sqrt{44} \] A componente tangencial da aceleração é dada por: \[ a_t = \frac{\vec{a} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \] Calculando o produto escalar: \[ \vec{a} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 4 + 18 + 4 = 26 \] Portanto: \[ a_t = \frac{26}{\sqrt{17}} \] Agora, substituímos na fórmula da componente normal: \[ a_n = \sqrt{|\vec{a}|^2 - a_t^2} = \sqrt{44 - \left(\frac{26}{\sqrt{17}}\right)^2} \] Calculando \( a_t^2 \): \[ a_t^2 = \frac{676}{17} \] Portanto: \[ a_n = \sqrt{44 - \frac{676}{17}} = \sqrt{\frac{748 - 676}{17}} = \sqrt{\frac{72}{17}} = \frac{6}{\sqrt{17}} \] Assim, a componente normal da aceleração no ponto (2, 4, 6) é \( \frac{6}{\sqrt{17}} \). Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!