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Considere uma função ?: R → R que possui segunda derivada em todo ponto e que satisfaz à seguinte propriedade: lim h → 0 ?(2 + h) + ?(2 - h)-2?(2) h² = 1 Um estudante de cálculo diferencial, ao deparar-se com essa situação, escreveu a afirmação seguinte: A segunda derivada ?' (2) = 0 porque lim h → 0 g(x + h) + g(x - h)-2g(x) h² = g"(x), qualquer que seja a função g. Com relação ao afirmado pelo estudante, assinale a opção correta. Múltipla Escolha: As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira. As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira. Ambas as asserções são proposições falsas. A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
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Mario Ribeiro

há 2 meses

Respostas

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há 2 meses

Vamos analisar as afirmações: 1. A primeira asserção diz que a segunda derivada \( f''(2) = 0 \). Para verificar isso, consideramos a propriedade dada: \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) + f(2 - h) - 2f(2)}{h^2} = 1 \] Isso indica que \( f''(2) = 1 \), e não 0. Portanto, a primeira asserção é falsa. 2. A segunda asserção afirma que a relação \[ \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) + g(x - h) - 2g(x)}{h^2} = g''(x) \] é verdadeira para qualquer função \( g \) que tenha segunda derivada. Essa afirmação é verdadeira. Com isso, temos que a primeira asserção é falsa e a segunda é verdadeira. Portanto, a opção correta é: A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.

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