Para determinar a área \( A \) do triângulo cujos vértices são as raízes da equação \( z^3 - 4z^2 + 5z = 0 \), primeiro precisamos encontrar as raízes da equação. 1. Fatoração da equação: \[ z(z^2 - 4z + 5) = 0 \] A primeira raiz é \( z_1 = 0 \). 2. Resolvendo a equação quadrática: Para \( z^2 - 4z + 5 = 0 \), usamos a fórmula de Bhaskara: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} \] \[ z = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i \] Portanto, as raízes são \( z_1 = 0 \), \( z_2 = 2 + i \) e \( z_3 = 2 - i \). 3. Coordenadas dos vértices: - \( A(0, 0) \) - \( B(2, 1) \) - \( C(2, -1) \) 4. Cálculo da área do triângulo: Usamos a fórmula da área com as coordenadas dos vértices: \[ A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Substituindo: \[ A = \frac{1}{2} \left| 0(1 - (-1)) + 2((-1) - 0) + 2(0 - 1) \right| \] \[ A = \frac{1}{2} \left| 0 + 2(-1) + 2(-1) \right| = \frac{1}{2} \left| -2 - 2 \right| = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \] Portanto, a área \( A \) do triângulo é \( 2 \). A resposta correta é \( A = 2 \).