Determine o valor de "X", tal que os números x^2.(x+2)^2 e (x+3)^2 formem, nessa ordem, uma P.A.

Para que os números \( x^2 \), \( (x+2)^2 \) e \( (x+3)^2 \) formem uma progressão aritmética (P.A.), a seguinte condição deve ser satisfeita: \[ 2 \cdot (x+2)^2 = x^2 + (x+3)^2 \] Vamos resolver isso passo a passo. 1. Expanda os termos: - \( (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \) - \( (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \) 2. Substitua na equação: \[ 2 \cdot (x^2 + 4x + 4) = x^2 + (x^2 + 6x + 9) \] 3. Simplifique: \[ 2x^2 + 8x + 8 = 2x^2 + 6x + 9 \] 4. Elimine \( 2x^2 \) de ambos os lados: \[ 8x + 8 = 6x + 9 \] 5. Isolando \( x \): \[ 8x - 6x = 9 - 8 \] \[ 2x = 1 \] \[ x = \frac{1}{2} \] Portanto, o valor de \( X \) é \( \frac{1}{2} \).