Determine o valor "x", de modo que os quadrados dos números (x+1), Vx+15, (x+3) formem, nessa ordeem, uma P.A.

Para que os quadrados dos números \((x+1)\), \(\sqrt{x+15}\) e \((x+3)\) formem uma progressão aritmética (P.A.), a seguinte condição deve ser satisfeita: \[ 2\sqrt{x+15} = (x+1) + (x+3) \] Vamos resolver isso passo a passo: 1. Simplificando a equação: \[ 2\sqrt{x+15} = 2x + 4 \] 2. Dividindo ambos os lados por 2: \[ \sqrt{x+15} = x + 2 \] 3. Elevando ao quadrado ambos os lados: \[ x + 15 = (x + 2)^2 \] 4. Expandindo o lado direito: \[ x + 15 = x^2 + 4x + 4 \] 5. Rearranjando a equação: \[ 0 = x^2 + 4x + 4 - x - 15 \] \[ 0 = x^2 + 3x - 11 \] 6. Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \(a = 1\), \(b = 3\) e \(c = -11\). \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 44}}{2} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{53}}{2} \] Assim, os valores de \(x\) que satisfazem a condição são: \[ x = \frac{-3 + \sqrt{53}}{2} \quad \text{ou} \quad x = \frac{-3 - \sqrt{53}}{2} \] Esses são os valores de \(x\) que fazem com que os quadrados dos números formem uma P.A.