Para resolver o problema, vamos definir as variáveis: - Seja \( x \) o comprimento do lado da base quadrada da caixa. - Seja \( h \) a altura da caixa. A área da base da caixa é \( x^2 \) e a área das quatro laterais é \( 4xh \). O total de papelão disponível é 1200 cm², então temos a equação: \[ x^2 + 4xh = 1200 \] O volume da caixa \( V \) é dado por: \[ V = x^2h \] Agora, precisamos expressar \( h \) em termos de \( x \) usando a equação do papelão: \[ 4xh = 1200 - x^2 \] Portanto, \[ h = \frac{1200 - x^2}{4x} \] Substituindo \( h \) na fórmula do volume: \[ V = x^2 \left( \frac{1200 - x^2}{4x} \right) \] Simplificando: \[ V = \frac{1200x - x^3}{4} \] Para maximizar o volume, derivamos \( V \) em relação a \( x \) e igualamos a zero: \[ \frac{dV}{dx} = \frac{1200 - 3x^2}{4} = 0 \] Resolvendo: \[ 1200 - 3x^2 = 0 \implies 3x^2 = 1200 \implies x^2 = 400 \implies x = 20 \, \text{cm} \] Agora, substituímos \( x \) de volta para encontrar \( h \): \[ h = \frac{1200 - 20^2}{4 \cdot 20} = \frac{1200 - 400}{80} = \frac{800}{80} = 10 \, \text{cm} \] Portanto, as dimensões da caixa que maximizam o volume são: - Lado da base: \( 20 \, \text{cm} \) - Altura: \( 10 \, \text{cm} \) O volume máximo é: \[ V = 20^2 \cdot 10 = 4000 \, \text{cm}^3 \] Assim, a resposta correta é: Vmáx = 4000 cm³.