Determine os pontos onde a função f(x) = sen(x) se x ≤ 0 ; xln(x) se 0 < x ≤ 1 ; sen(x − 1) se x > 1 é não derivável.

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Para determinarmos o pono em que a função é derivável ou não, basta calcularmos a derivada pela definição quando o limite tende a seus dois limites extremos. Sendo assim, vamos ver um exemplo abaixo para a primeira função:

\(\begin{align} & f(x)=\sin x \\ & x<0 \\ & \\ & \underset{h\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h} \\ & \underset{h\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin (0+h)-0}{h} \\ & \underset{h\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin h}{h}=1 \\ & \\ & \underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h} \\ & \underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin (0+h)-0}{h} \\ & \underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin h}{h}=-1 \\ \end{align}\ \)

Como os limites não são os mesmos, a função não é derivável em \(\boxed{\left( {1, \propto } \right)}\).